有限维分布m(t)/C(s,t)独立增量正态/维纳过程泊松两定义点间距/等待时间非齐次/复合泊松马氏性转移矩阵
全课程心脏：排队论的输入端（泊松到达 + 指数服务）在此定型；“独立增量 ⟹ 马氏”证明库。
转移概率函数齐次性/正则性条件C-K 方程 P(t+s)=P(t)P(s)遍历判别Q 矩阵柯氏前进/后退方程福克-普朗克平稳分布 πQ=0
排队论的数学地基（πQ=0 → M/M/1 平衡方程）。第 6 讲前半“状态分类”为重讲，内容在模块3 §7–12。
生灭过程M/M/1/∞M/M/c混合制/损失制嵌入马氏链队长/等待时间/忙期输出过程
第 7 讲起新课件放入 课件/ 后按模块追加（第 6 讲下已预告生灭过程与 M/M/1）。
准备：数学基础工具箱，先复习求和、指数分布、条件概率和矩阵乘法。主线：本课概率记号 → 泊松计数和等待时间 → P 矩阵状态分类 → Q 矩阵和平衡方程。
进入排队论：在第 7 讲等正式课件覆盖前，可先看 排队系统补充速查，学习 \(\lambda,\mu,\rho,L,L_q,W,W_q\) 以及 Little 定律；速查页属于拓展，不替代教师课件。
考试做题固定步骤：识别模型/参数 → 画状态转移图 → 写平衡方程并判断稳定性 → 求所问性能指标 → 检查单位。自学视频与参考教材供忘掉基础时选用。
| 场景 | 建议 |
|---|---|
| 课前/课后 24h 内 | 打开当讲所在模块，用左侧折叠目录跳到对应小节；折叠的例题自己先做再展开。 |
| 平时积累一页纸 | 各讲末尾的“公式速查”可用于制作个人复习卡；历年存在一页纸开卷形式，但本学期是否允许携带、纸张尺寸及内容限制均以教师通知为准。 |
| 做题卡住 | 先看对应讲次“习题”节；再对照 作业/ 两份习题解答 PPT。 |
| 期末冲刺 | 按 README.md 顺序：一页纸加强版例题 → 真题（2014 秋有答案版起步）→ 逐张看 2016 复习课拍照。 |
| 模块 · 讲次 | 对应课件 | 配套往届资料 |
|---|---|---|
| 模块 1 · 第 1 讲 | 课件/第1讲.pptx | 一页纸总结(2014/qym) 分布表；电子笔记 1 |
| 模块 1 · 第 2 讲 | 课件/第2讲.pptx | 习题一（作业 PPT 45 页版）；电子笔记 1 |
| 模块 2 · 第 3 讲 | 课件/第3讲.pptx | 习题二 P66–69：1/9/15/19；电子笔记 2、铅笔笔记 1 |
| 模块 2 · 第 4 讲 | 课件/第4 讲.pptx | 习题三 P98：12/15/19 + 课堂练习；电子笔记 2 |
| 模块 3 · 第 5 讲 | 课件/第5讲.pptx | 习题四 P152–154：4/10/19/23；电子笔记 5、铅笔笔记 5 |
以下排队模型属于自学拓展；正式授课进度以老师已发布课件为准。
Kendall 记号 A/S/c/K/N/Disc 中：到达分布 / 服务时间分布 / 服务台数 / 系统总容量 / 客源数 / 服务规则。M 表示指数时间/相应泊松到达；未写容量时通常默认为无限。$\lambda$ 是外部到达率、$\mu$ 是每个服务台的服务率。$L$ 为系统平均人数，$L_q$ 为等待队列平均人数，$W$ 为平均逗留时间，$W_q$ 为平均等待时间。
Little 定律（稳态、长期平均一致且期望有限的适当条件下）：$L=\lambda_{\mathrm{eff}}W$、$L_q=\lambda_{\mathrm{eff}}W_q$。对有丢弃/拒绝的系统，使用有效进入率 $\lambda_{\mathrm{eff}}$，不是自动用外部到达率。
出生率 $\lambda_n=\lambda$，死亡率 $\mu_n=\mu$（$n\ge1$）。当且仅当 $\rho=\lambda/\mu<1$ 有正则的稳态概率：
$$p_n=(1-\rho)\rho^n,\quad L=\frac{\rho}{1-\rho},\quad L_q=\frac{\rho^2}{1-\rho},\quad W=\frac1{\mu-\lambda},\quad W_q=\frac{\rho}{\mu-\lambda}.$$
例：$\lambda=2$/分钟、$\mu=3$/分钟，则 $\rho=2/3, L=2, L_q=4/3, W=1$ 分钟、$W_q=2/3$ 分钟；注意队长与系统人数不同。
总服务率 $\mu_n=\min(n,c)\mu$。定义 $a=\lambda/\mu$，$\rho=a/c<1$，则
$$p_0=\left[\sum_{n=0}^{c-1}\frac{a^n}{n!}+\frac{a^c}{c!(1-\rho)}\right]^{-1},\quad P(\text{需要等待})=\frac{a^c}{c!(1-\rho)}p_0.$$
$$L_q=P(\text{需要等待})\frac{\rho}{1-\rho},\quad W_q=\frac{L_q}{\lambda},\quad W=W_q+\frac1\mu,\quad L=\lambda W.$$
这里 $P(\text{需要等待})$ 是 Erlang C 公式，默认泊松到达、指数服务、FCFS 等条件。
无等待，稳态 $N\sim\mathrm{Poisson}(\lambda/\mu)$；$L=\lambda/\mu$、$L_q=W_q=0$、$W=1/\mu$。任意 $\lambda,\mu>0$ 都有稳态。
$K$ 为系统总容量而非队列长度。$\rho=\lambda/\mu$：$p_n=\rho^n p_0$（$n=0,\dots,K$），若 $\rho\ne1$，$p_0=(1-\rho)/(1-\rho^{K+1})$；若 $\rho=1$，$p_n=1/(K+1)$。
满系统阻塞概率 $p_K$（使用 PASTA）；$\lambda_{\mathrm{eff}}=\lambda(1-p_K)$。$L=\sum n p_n$，$L_q=\sum(n-1)^+p_n$，随后用有效到达率求 $W,W_q$。有限容量不需要 $\rho<1$ 才有稳态。
不设等待位（系统容量恰为 c），$a=\lambda/\mu$：$p_n=(a^n/n!)/\sum_{k=0}^c a^k/k!$，阻塞率 $B(c,a)=p_c$，通过率 $\lambda_{\mathrm{eff}}=\lambda(1-B)$。
queueing_simulation.html 使用事件驱动 M/M/1 仿真，演示 $W$ 与 $L$ 的一致性（仿真是统计近似，随机结果会波动）。
先回忆等比级数：当 $|\rho|<1$，$\sum_{n=0}^\infty \rho^n=1/(1-\rho)$，$\sum_{n=0}^\infty n\rho^n=\rho/(1-\rho)^2$。这两个大学数学结论就是求系统人数均值的关键。
$\rho=2/3$；$p_0=1/3$；$L=2$ 人、$L_q=4/3$ 人、$W=1$ 小时、$W_q=2/3$ 小时（40 分钟）。检查：系统平均人数 $L=\lambda W=2\times1=2$，单位相符。
两台独立服务台，每台速率 $\mu=3$/小时，到达率 $\lambda=4$/小时，共用一个无限容量 FCFS 队列。求空系统概率、必须等待概率、平均等待时间、平均逗留时间。
不要混：$P_{\rm wait}$ 是“需要等待”的概率，不是“所有人都等待了多久”；$W_q$ 包括零等待者。对 $t\ge0$，该模型还有 $P(W_q>t)=P_{\rm wait}e^{-(c\mu-\lambda)t}$。
考虑 M/M/1/2，系统最多同时容纳两人，且 $\lambda=\mu>0$，此时 $\rho=1$。虽然无限容量 M/M/1 在 $\rho=1$ 时无稳态，有限容量模型仍有均匀稳态：$p_0=p_1=p_2=1/3$。
① K 是系统总容量（包括服务中的人），不是队列最多允许的人数；② 有拒客时 Little 定律使用有效到达率；③ $\rho=1$ 不是所有排队模型均不存在稳态——先看容量是否有限。