0 · 泊松过程推导的两大数学支点：无记忆性与积分因子法
- 指数分布是唯一具有无记忆性的连续分布：若服务时间或到达间隔 \(T\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\)，则 \(P\{T > s+t \mid T > s\} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P\{T > t\}\)。这意味着“已经等了 \(s\) 分钟还没来，接下来还要等多久”的分布与刚来时一模一样！
- 一阶常微分方程积分因子法：解 \(P'_n(t) + \lambda P_n(t) = \lambda P_{n-1}(t)\) 时，两边同乘积分因子 \(e^{\lambda t}\)，左边瞬间合并为乘积导数 \(\bigl[e^{\lambda t}P_n(t)\bigr]' = \lambda e^{\lambda t}P_{n-1}(t)\)，两边从 \(0\) 到 \(t\) 积分即可递推求解！
自学导读 · 泊松过程和等待时间
① 遗忘知识补足
齐次泊松过程 N(t)~Pois(λt)，独立的是不交叠区间中的增量，而非 N(t) 与 N(t+s)；首次到达等待时间服从 Exp(λ)。
② 推导或例题
λ=2 人/小时，半小时内恰好到 1 人的概率 e^(−1)；1 小时内至少 1 人的概率 1−e^(−2)；首次等待超过半小时的概率 e^(−1)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · ③ 考前自测（展开））
破题切入点：写出“独立增量”的正确表达，解释为何两个相邻累计计数不是独立的。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（③ 考前自测（展开））
写出“独立增量”的正确表达，解释为何两个相邻累计计数不是独立的。
补充训练不替代教师本学期课件与考核通知。
泊松过程的典型条件分布大题
强度 \(\lambda>0\) 的齐次泊松过程 \(N(t)\)，已知在 \([0,t]\) 内恰好发生 \(n\) 次到达。问在前 \(s\) 时间内的到达次数，其中 \(0\le s\le t\)。
- 写出不交叠区间增量：\(N(s)\sim\mathrm{Pois}(\lambda s)\)，\(N(t)-N(s)\sim\mathrm{Pois}(\lambda(t-s))\)，二者独立。
- 用条件概率，对 \(0\le k\le n\)：\(P(N(s)=k\mid N(t)=n)=\dfrac{P(N(s)=k)P(N(t)-N(s)=n-k)}{P(N(t)=n)}\)。
- 代入泊松概率质量函数并约分，可得 \(\binom nk (s/t)^k(1-s/t)^{n-k}\)。
- 因此 \(N(s)\mid N(t)=n\sim\mathrm{Binomial}(n,s/t)\)，其条件期望为 \(ns/t\)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 自测：已知 2 小时来了 6 人，前 30 分钟恰好来 2 人的条件概率）
破题切入点：\(s/t=1/4\)，故答案 \(\binom62(1/4)^2(3/4)^4\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（自测：已知 2 小时来了 6 人，前 30 分钟恰好来 2 人的条件概率）
\(s/t=1/4\)，故答案 \(\binom62(1/4)^2(3/4)^4\)。注意条件概率中强度 \(\lambda\) 被约掉了。
先看：本模块易错点与补充
泊松过程条件- 泊松过程是独立平稳增量且单位时间到达率为 λ 的计数过程；非齐次泊松过程具有独立增量但一般没有平稳增量。
- 泊松过程到达间隔独立同分布 Exp(λ)，更新过程则只要求间隔独立同分布，不一定为指数。
- 泊松过程定义中的小 o 写法需要明确 \(h\downarrow0\)，不能省略 \(N(0)=0\) 的条件。
课件/第3讲.pptx
第 3 讲 · 随机过程的基本概念与几种重要过程
0 · 本讲导读
课程正式进入正题。前两讲的“一个/一组随机变量”，今天升级成“随时间演化的一族随机变量”\(\{X(t),t\in T\}\)——这就是随机过程。本讲结构非常清晰：先学怎么“描述”一个过程（定义 → 分布 → 数字特征），再认识四种重要过程（独立、独立增量、正态、维纳），为第 4 讲的主角“泊松过程”铺路。
先修检查：第 1 讲的分布函数/常见分布、第 2 讲的 \(E\)、\(D\)、\(\operatorname{cov}\)、特征函数、二维正态——忘了就回去翻，本讲全用得上。
- 数字特征大题——给一个具体过程（如 \(X_0+Vt\)、随机相位正弦波），求 \(m(t),D(t),R(s,t),C(s,t)\)（第 4 节两道样板题的原型换皮）；
- 平稳独立增量三性质——\(m=at,\ D=\sigma^2t,\ C=\sigma^2\min(s,t)\)：简答"证明 m(t)=at"或用结论秒算泊松/维纳的 C；
- 判断题连锁——独立过程/独立增量/正态/维纳 各是什么、互相推出关系（维纳：平稳独立增量+正态+马氏）；
- 样本函数与状态空间——给 \(X(t)\) 表达式写样本函数（第 1 节例 2 型）。
1 · 随机过程的引入与定义
缺基础？求导、积分、级数、矩阵乘法、复数的手生处，直接翻上级目录的 《数学基础工具箱》（每条约三分钟，配例题与易错点；考前还有"十分钟急救包"）。
1.1 四个引例（体会“一族随机变量”）
| 例子 | 过程 | 状态空间（取值范围） |
|---|---|---|
| 生物群体繁殖 | \(X(n)\)=第 n 代个体数 | \(\{0,1,2,\dots\}\) |
| 电话呼唤 | \(X(t)\)=\([0,t)\) 内收到的呼唤次数 | \(\{0,1,2,\dots\}\) |
| 布朗运动 | \(X(t)\)=t 时刻微粒位置横坐标 | \(\mathbb R\) |
| 热噪声 | \(X(t)\)=元器件端电压 | \(\mathbb R\) |
共同点：对固定的 \(t\)（或 \(n\)），\(X(t)\) 是随机变量；让 \(t\) 变动，就得到一族随机变量。随机过程论就是研究“随机现象随时间演变的统计规律”。（课件备注里老师举了冰川运动的例子：肉眼看不见的单步缓慢，连续观察就能看到演变——过程观念的直观。）
1.2 严格定义与三个关键词
| 固定什么 | 得到什么 | 称呼 |
|---|---|---|
| 固定 \(t=t_0\)，让 \(\omega\) 变 | 随机变量 \(X(t_0)\) | 过程的“横截面” |
| 固定 \(\omega=\omega_0\)，让 \(t\) 变 | 普通函数 \(x(t,\omega_0)\) | 样本函数（一条轨道） |
1.3 随机过程的分类
| 状态 \ \ 参数 | 参数集 T 离散 | 参数集 T 连续 | |
|---|---|---|---|
| 状态空间 E | 离散 | （离散参数）链 | （连续参数）链 |
| 连续 | 随机序列 | 随机过程 | |
按概率结构又可分为：独立过程、独立增量过程、正态过程、马尔可夫过程、泊松过程、维纳过程、平稳过程……（本讲+后两讲逐一登场）。例：电话呼唤次数 \(\{N(t)\}\) 是“连续参数、离散状态”的链；热噪声是连续参数连续状态过程。
2 · 随机过程的分布（有限维分布）
单个随机变量用 \(F(x)\) 描述；“一族”随机变量怎么描述？答案：把第 2 讲的联合分布按“任意挑时刻”系统地用一遍。
- 一维分布函数：\(F(t;x)=P\{X(t)<x\},\ t\in T,\ x\in\mathbb R\)；若有密度则记 \(f(t;x)\)。
- 二维分布函数：\(F(s,t;x,y)=P\{X(s)<x,\ X(t)<y\}\)；密度类似。
- n 维分布函数：\(F(t_1,\dots,t_n;x_1,\dots,x_n)=P\{X(t_1)<x_1,\dots,X(t_n)<x_n\}\)。
- 全体有限维分布（函数/密度/特征函数）合称有限维分布族，它完整刻画一个随机过程。
两个过程的联合与独立：\(\{X(t)\}\) 与 \(\{Y(t)\}\) 的 n+m 维联合分布定义为 \((X(s_1),\dots,X(s_n),Y(t_1),\dots,Y(t_m))\) 的联合分布；若任意 n+m 维联合分布都能拆成 X 的 n 维 × Y 的 m 维，称两过程相互独立。
n 维特征函数： \[\varphi(t_1,\dots,t_n;u_1,\dots,u_n)=E\Big[e^{i\sum_{k=1}^{n}u_kX(t_k)}\Big],\] 全体合称有限维特征函数族。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：一维 ：\(X(0.5)\) 的分布律为 \(\begin{array}{c|cc}X(0. \cdots\)（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
一维：\(X(0.5)\) 的分布律为 \(\begin{array}{c|cc}X(0.5)&0&1\\\hline P&1/2&1/2\end{array}\)，故（记住课程 \(P\{X<x\}\) 约定！） \[F(0.5;x)=\begin{cases}0,&x\le0\\ \tfrac12,&0<x\le1\\ 1,&x>1\end{cases}\] 同理 \(X(1)\) 取 \(-1,2\) 各半： \[F(1;x)=\begin{cases}0,&x\le-1\\ \tfrac12,&-1<x\le2\\ 1,&x>2\end{cases}\]
二维：两时刻独立，联合分布律 4 格各 \(\frac14\)，故 \[F(0.5,1;x,y)=P\{X(0.5)<x\}P\{X(1)<y\}=\begin{cases}0,&x\le0\ \text{或}\ y\le-1\\ \tfrac14,&0<x\le1,\ -1<y\le2\\ \tfrac12,&\text{恰一个变量越过上跳点}\\ 1,&x>1,\ y>2\end{cases}\]
方法论：离散状态过程求有限维分布 = 列联合分布律表格 → 按事件 \(\{X(t_i)<x_i\}\) 数格子。连续情形则积密度。
3 · 随机过程的数字特征
有限维分布信息太庞大，日常操作靠“数字特征函数”——把第 2 讲的期望/方差/协方差按时刻展开：
| 名称 | 定义 | 大白话 |
|---|---|---|
| 均值函数 \(m(t)\) | \(m(t)=E[X(t)]\) | 每个时刻的“平均轨道”（重心线） |
| 方差函数 \(D(t)\) | \(D(t)=E[X(t)-m(t)]^2=E[X^2(t)]-m^2(t)\) | 每个时刻围绕均值的散布；\(\sqrt{D(t)}\) 为均方差函数 |
| （自）相关函数 \(R(s,t)\) | \(R(s,t)=E[X(s)X(t)]\) | 两个时刻取值的“原始关联” |
| （自）协方差函数 \(C(s,t)\) | \(C(s,t)=\operatorname{cov}(X(s),X(t))\) | 去掉均值后的关联 |
- 展开表达式，按时刻代入：如 \(X(t)=X_0+Vt\) 先写 \(m(t)=E[X_0]+tE[V]\)；
- 算 \(m(t)\)：逐项取期望，独立项拆开（交叉项 \(E[X_0V]=E[X_0]E[V]\)）；
- 算 \(E[X^2(t)]\)：完全平方展开（\((X_0+Vt)^2=X_0^2+2tX_0V+V^2t^2\)），独立拆开，再 \(D(t)=E[X^2(t)]-m^2(t)\)；
- 算 \(R(s,t)=E[X(s)X(t)]\)：乘开成四项，独立拆；
- \(C(s,t)=R(s,t)-m(s)m(t)\)（m≡0 时 C=R 直接抄）；最后 \(D(t)=C(t,t)\) 自查。
4 · 例题两连：\(X_0+Vt\) 与随机相位正弦波
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：均值 ：\(m(t)=E[X_0]+tE[V]=0\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
均值：\(m(t)=E[X_0]+tE[V]=0\)。
方差：\(E[X^2(t)]=E[X_0^2]+2tE[X_0V]+t^2E[V^2]=1+t^2\)（独立⟹交叉项为 \(0\cdot0=0\)），故 \(D(t)=1+t^2-0^2=1+t^2\)。
一维密度：固定 \(t\)，\(X(t)\) 是独立正态的线性组合 ⟹ \(X(t)\sim N(0,1+t^2)\)， \[f(t;x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(1+t^2)}}e^{-\frac{x^2}{2(1+t^2)}}.\]
协方差/相关函数：\(m\equiv0\) 故 \(C=R\)， \[C(s,t)=R(s,t)=E[(X_0+Vs)(X_0+Vt)]=E[X_0^2]+st\,E[V^2]+(s+t)E[X_0V]=1+st.\]
二维密度：\((X(s),X(t))\) 是 \((X_0,V)\) 的线性变换 ⟹ 二维正态 \(N(\mathbf 0,C)\)，协方差矩阵 \[C=\begin{pmatrix}C(s,s)&C(s,t)\\C(t,s)&C(t,t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+s^2&1+st\\1+st&1+t^2\end{pmatrix},\] \[f(s,t;x,y)=\frac{1}{2\pi|C|^{1/2}}\exp\Big\{-\frac12(x,y)C^{-1}\binom{x}{y}\Big\},\qquad |C|=(1+s^2)(1+t^2)-(1+st)^2=(t-s)^2.\]
做题心得：“独立正态 + 线性表达”型的题，全靠 (i) 独立拆期望 (ii) 正态线性变换仍正态 (iii) 二维正态只需求均值向量与协方差阵。本题第 7 节还要复用来证明它是正态过程。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答（周期函数的“整周期平均”技巧））
破题切入点：\(\Theta\) 密度 \(\frac1{2\pi}\ (0<\theta<2\pi)\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答（周期函数的“整周期平均”技巧））
\(\Theta\) 密度 \(\frac1{2\pi}\ (0<\theta<2\pi)\)。
均值：\(m(t)=\dfrac{a}{2\pi}\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos(bt+\theta)\,\mathrm d\theta=0\)（整周期积分为 0）。
相关函数：积化和差 \(\cos A\cos B=\tfrac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)]\)： \[R(s,t)=\frac{a^2}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(bs+\theta)\cos(bt+\theta)\,\mathrm d\theta=\frac{a^2}{2}\cos\big(b(t-s)\big)+\underbrace{\frac{a^2}{2\pi}\cdot\frac12\int_0^{2\pi}\cos\big(b(s+t)+2\theta\big)\mathrm d\theta}_{=0}\] \[R(s,t)=\frac{a^2}{2}\cos\big(b(t-s)\big).\]
协方差：\(m=0\Rightarrow C(s,t)=R(s,t)\)；方差：\(D(t)=C(t,t)=\dfrac{a^2}{2}\)。
亮点：相关函数只依赖时间差 \(t-s\)（这是“宽平稳”的影子，复习资料电子笔记第 4 章会展开）。
5 · 独立过程与伯努利序列
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：独立性把一切化为一元计算：\(E[X(n)]=p,\ D[X(n)]=pq\)；（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
独立性把一切化为一元计算：\(E[X(n)]=p,\ D[X(n)]=pq\)； \[R(m,n)=E[X(m)X(n)]=\begin{cases}E[X(n)^2]=p, &m=n,\\ E[X(m)]E[X(n)]=p^2, &m\ne n;\end{cases}\qquad C(m,n)=\begin{cases}pq,&m=n,\\0,&m\ne n.\end{cases}\]
不同时刻协方差为 0：独立序列“没有记忆”。（对比第 6 节：独立增量过程远比独立过程常见、也更有用。）
6 · 独立增量过程与平稳独立增量过程
- 均值函数 \(m(t)=at\)（\(a=m(1)\) 常数）；
- 方差函数 \(D(t)=\sigma^2 t\)（\(\sigma^2=D(1)>0\)）；
- 协方差函数 \(C(s,t)=\sigma^2\min(s,t)\)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 证明（三步，都值得背））
破题切入点：① 均值 ：由 \(X(t+s)=[X(t+s)-X(s)]+[X(s)-X(0)]\) 且两增量独立、分别与 \(X(t)-X(0),X(s)-X(0)\) 同分布（平稳性）： \[m(t（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（证明（三步，都值得背））
① 均值：由 \(X(t+s)=[X(t+s)-X(s)]+[X(s)-X(0)]\) 且两增量独立、分别与 \(X(t)-X(0),X(s)-X(0)\) 同分布（平稳性）： \[m(t+s)=E[X(t+s)]=E[X(t)]+E[X(s)]=m(t)+m(s).\] 函数方程 \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) 的连续解是线性函数 ⟹ \(m(t)=at\)。
② 方差：同样拆分，且两增量独立 ⟹ 方差相加： \[D(t+s)=D[X(t+s)-X(s)]+D[X(s)-X(0)]=D(t)+D(s)\ \Rightarrow\ D(t)=\sigma^2t.\]
③ 协方差（设 \(t>s\)）：写 \(X(t)=[X(t)-X(s)]+X(s)\)， \[C(s,t)=E\big[X(t)X(s)\big]-m(s)m(t)=E[X(t)-X(s)]\,E[X(s)]+E[X^2(s)]-m(s)m(t)\] （用 \(X(t)-X(s)\perp X(s)\)！） \[=m(t-s)m(s)+\big(D(s)+m^2(s)\big)-m(s)m(t)=a(t-s)as+\sigma^2s+a^2s^2-a^2st=\sigma^2s.\] 一般地 \(C(s,t)=\sigma^2\min(s,t)\)。∎
有限维分布的确定：独立增量过程的有限维分布由“一维分布 + 增量分布”决定（特征函数分解，课件 p.51–52 用特征函数乘积证明）；若 \(X(0)=0\) 的平稳独立增量，则只需一维分布即可确定一切——这正是维纳/泊松两过程定义如此简洁的原因。
- 推导题：给条件"平稳独立增量、\(X(0)=0\)"，证明 \(m(t)=at\)（或 D 或 C）。答题主线三句话：增量拆分 \(X(t+s)=[X(t+s)-X(s)]+[X(s)-X(0)]\) → 独立⟹期望/方差可加、平稳⟹同分布 → 函数方程 \(f(t+s)=f(t)+f(s)\) 的连续解是线性。C 的证明还多一步"插入 \(\pm X(s)\)"并利用 \(X(t)-X(s)\perp X(s)\)。上面的完整证明就是标准答案模板；
- 应用/判断题：给新过程判断是否独立增量/平稳独立增量。判断口诀："求和型过程（\(Y(n)=\sum X(i)\)）必是独立增量；\(X(i)\) 还同分布则再平稳"。泊松、维纳、二项计数三个都走这条路。
7 · 正态过程（高斯过程）
- 一维：\(X(t)\sim N\big(m(t),D(t)\big)\)；
- 二维：均值向量 \((m(s),m(t))^T\)，协方差阵 \(\begin{pmatrix}D(s)&C(s,t)\\C(s,t)&D(t)\end{pmatrix}\)；
- n 维：密度由均值向量 \(\boldsymbol m\) 与协方差矩阵 \(C=(C(t_i,t_j))\) 完全决定： \[f(\boldsymbol x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|C|^{1/2}}\exp\Big\{-\frac12(\boldsymbol x-\boldsymbol m)^TC^{-1}(\boldsymbol x-\boldsymbol m)\Big\},\] n 维特征函数 \(\varphi(\boldsymbol u)=\exp\{i\boldsymbol u^T\boldsymbol m-\tfrac12\boldsymbol u^TC\boldsymbol u\}\)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 证明）
破题切入点：对任意 \(t_1,\dots,t_n\)，向量 \((X(t_1),\dots,X(t_n))^T=A\,(X_0,V)^T\)，其中 \[A=\begin{pmatrix}1&t（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（证明）
对任意 \(t_1,\dots,t_n\)，向量 \((X(t_1),\dots,X(t_n))^T=A\,(X_0,V)^T\)，其中 \[A=\begin{pmatrix}1&t_1\\1&t_2\\\vdots&\vdots\\1&t_n\end{pmatrix}.\] \((X_0,V)\) 是二维正态（独立正态），n 维正态经线性变换仍是 n 维正态 ⟹ \(\{X(t)\}\) 是正态过程。∎
随后即可“批量”写出：一维 \(X(t)\sim N(0,1+t^2)\)、二维 \((X(s),X(t))\sim N(\mathbf 0,C)\)、n 维 \(N(\mathbf 0,C)\)，均值向量全 0，协方差阵 \(C=(1+t_it_j)_{n\times n}\)（数字特征在第 4 节例 5 已全部算好——正态过程把“求分布”降维成“求 m 和 C”）。
8 · 维纳过程（布朗运动）
历史：1827 年植物学家 Brown 观察到悬浮微粒的不规则运动；1918 年 Wiener 给出精确数学模型，故称维纳过程/布朗运动。它是应用概率最常用的过程之一（股价模型、通信、生物、管理）。
- \(W(0)=0\)；
- \(E[W(t)]=0\)（零均值）；
- 具有平稳独立增量；
- 对 \(t>0\)，\(W(t)\sim N(0,\sigma^2t)\)（\(\sigma>0\)）。
- 一维密度：\(f(t;x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2t}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2t}}\)；一维特征函数 \(e^{-\frac12\sigma^2tu^2}\)；\(m(t)=0,\ D(t)=\sigma^2t\)。
- 增量：\(W(t)-W(s)\sim N\big(0,\sigma^2(t-s)\big)\ (t>s)\)。
- 协方差/相关：\(C(s,t)=R(s,t)=\sigma^2\min(s,t)\)（正是第 6 节定理的结论，\(\sigma^2=D(1)\)）。
- 二维：\((W(s),W(t))\sim N(\mathbf 0,C)\)，协方差阵（设 \(s<t\)）为 \(C=\sigma^2\begin{pmatrix}s&s\\s&t\end{pmatrix}\)，密度按二维正态公式写出。
- n 维：均值向量 \(\mathbf 0\)，\(C=\big(\sigma^2\min(t_i,t_j)\big)_{n\times n}\)，密度与特征函数由第 7 节公式给出。
- 维纳过程是平稳独立增量过程（定义直接给的）；
- 维纳过程是正态过程；
- 维纳过程是马尔可夫过程（第 4 讲证一般命题：独立增量 ⟹ 马氏）。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 性质 2 的证明（“独立正态增量叠加”标准手法））
破题切入点：取 \(0<t_1<\dots<t_n\)，令 \(X_k=W(t_k)-W(t_{k-1})\ (t_0=0)\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（性质 2 的证明（“独立正态增量叠加”标准手法））
取 \(0<t_1<\dots<t_n\)，令 \(X_k=W(t_k)-W(t_{k-1})\ (t_0=0)\)。由独立增量，\(X_1,\dots,X_n\) 相互独立，且 \(X_k\sim N(0,\sigma^2(t_k-t_{k-1}))\)。而 \[(W(t_1),\dots,W(t_n))^T=A(X_1,\dots,X_n)^T,\quad A=\begin{pmatrix}1&&&0\\1&1&&\\1&1&1&\\\vdots&&&\ddots\end{pmatrix}\ (\text{下三角}),\] 即 \(W(t_k)=X_1+\cdots+X_k\)。独立正态的线性变换仍正态 ⟹ 任意有限维联合正态 ⟹ 正态过程。∎（同时可算出协方差阵为 \(\sigma^2(\min(t_i,t_j))\)。）
- 定义四条要能默写（\(W(0)=0\)；零均值；平稳独立增量；\(W(t)\sim N(0,\sigma^2t)\)）——填空题；
- 三大性质（平稳独立增量、正态、马氏）及"正态"的证明（下三角矩阵线性变换手法）——简答题；
- 数字特征：\(m=0,\ D=\sigma^2t,\ C=R=\sigma^2\min(s,t)\)、增量 \(W(t)-W(s)\sim N(0,\sigma^2(t-s))\)——计算题基础件；
- 判断题陷阱：\(W(t)\) 的方差随 t 增大（"越来越离散"）；\(C(s,t)\) 只由较小时刻决定（"过去共同经历决定关联"）；维纳是马氏过程但增量才独立，\(W(t)\) 本身高度相关。
9 · 本讲公式速查（一页纸素材）
| 四大函数 | \(m(t)=E[X(t)]\)；\(D(t)=E[X^2(t)]-m^2(t)\)；\(R=E[X(s)X(t)]\)；\(C=R-m(s)m(t)\)，\(C(t,t)=D(t)\) |
| 随机相位正弦波 | \(m=0,\ R=\frac{a^2}{2}\cos b(t-s)\) |
| 伯努利序列 | \(m=p,\ D=pq,\ R=p\ (m{=}n)/p^2\ (m{\ne}n),\ C=pq/0\) |
| 平稳独立增量三性质 | \(X(0)=0:\ m(t)=at,\ D(t)=\sigma^2t,\ C(s,t)=\sigma^2\min(s,t)\) |
| 正态过程 n 维 | \(f=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|C|^{1/2}}e^{-\frac12(\boldsymbol x-\boldsymbol m)^TC^{-1}(\boldsymbol x-\boldsymbol m)}\)；\(\varphi=e^{i\boldsymbol u^T\boldsymbol m-\frac12\boldsymbol u^TC\boldsymbol u}\) |
| 维纳过程 | 定义四条；\(W(t)\sim N(0,\sigma^2t)\)；增量 \(\sim N(0,\sigma^2\Delta t)\)；\(C=R=\sigma^2\min(s,t)\)；平稳独立增量、正态、马氏 |
10 · 习题二（本讲布置，教材 P66–69：1、9、15、19）
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 提示与答案）
破题切入点：固定 \(t\)：\(X(t)\sim N(0,1+t^2)\)，\(f(t;x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi(1+t^2)}}e^{-x^2/2(1+t^2)}\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（提示与答案）
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 提示与答案）
破题切入点：仿例 6：\(m(t)=0\)；\(R(s,t)=E[A^2]\cdot\frac12\cos\omega(t-s)\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（提示与答案）
仿例 6：\(m(t)=0\)；\(R(s,t)=E[A^2]\cdot\frac12\cos\omega(t-s)\)。瑞利分布 \(E[A^2]=2\sigma^2\)，故 \[R(s,t)=\sigma^2\cos\omega(t-s)\quad\text{只依赖 } t-s,\ D(t)=\sigma^2.\] 均值是常数、相关函数只依赖时间差 ⟹ 是宽平稳过程。（这正是通信里“窄带高斯噪声”的标准模型。）
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 提示与答案）
破题切入点：以 12:00 为 \(t=0\)、13:00 为 \(t=1\)（小时）。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（提示与答案）
以 12:00 为 \(t=0\)、13:00 为 \(t=1\)（小时）。\(m(t)=E[Y(t)]=P\{X\le t\}\)： \[m(t)=\begin{cases}0,&t\le0\\t,&0<t<1\\1,&t\ge1\end{cases}\] \(R(s,t)=E[Y(s)Y(t)]=P\{X\le s,\,X\le t\}=P\{X\le\min(s,t)\}=m(\min(s,t))\)（在 \([0,1]\) 内即 \(\min(s,t)\)，边界按上式取 0/1）。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 提示与答案）
破题切入点：泊松流的“稀疏化（分解）”：每个人独立以概率 \(p\) 标为女性，则 \[P\{X(t)=k\}=\sum_{n\ge k}\underbrace{e^{-\lambda t}\frac{（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（提示与答案）
泊松流的“稀疏化（分解）”：每个人独立以概率 \(p\) 标为女性，则 \[P\{X(t)=k\}=\sum_{n\ge k}\underbrace{e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}}_{n\text{ 人到达}}\binom nk p^k(1-p)^{n-k}=\frac{(\lambda pt)^k}{k!}e^{-\lambda pt},\] 且 \(X(t)\) 本身是强度 \(\lambda p\) 的泊松过程；\(m(t)=E[X(t)]=\lambda pt\)。（正式的定义与推导在下一讲，本题是绝佳预热：泊松稀释后还是泊松。）
11 · 资料对照与下一步
文件夹资料对照
| 资料 | 用法 |
|---|---|
复习资料/电子笔记/2正态，维纳，泊松.pdf | 本讲第 7、8 节的手写推导对照（维纳过程部分尤其详细） |
复习资料/电子笔记/3均方微积分.pdf | 后续课程若讲“均方意义下的微积分”时使用 |
复习资料/铅笔稍乱版笔记/分章节总结1.JPG | 随机过程定义/数字特征一页框架图 |
作业/2018年秋-随机过程-课后习题解答(拾光客栈分享).ppt | 习题二对应题号有完整解答 |
下一讲预告
泊松过程（两个定义及等价性、概率分布、数字特征、点间距/等待时间两大性质、非齐次与复合泊松、更新过程）+ 马尔可夫过程概念（马氏性、离散参数马氏链、转移矩阵、随机游动四型）。习题二的题 19 正是下一讲的开胃菜。
- “固定 t 是随机变量、固定 ω 是样本函数”——把这句话对电话呼唤过程说一遍。
- 写出一维/二维/n维分布函数的定义式。有限维分布族为什么能“完整刻画”过程？
- 平稳独立增量 + X(0)=0 ⟹ m、D、C 各是什么？证明的关键两步是什么？
- 维纳过程定义四条 + 三大性质？它的 C(s,t) 是什么？
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 答案要点）
破题切入点：固定 t：\(N(t)\) 是“到 t 为止呼唤次数”这个随机变量；（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（答案要点）
- 固定 t：\(N(t)\) 是“到 t 为止呼唤次数”这个随机变量；固定一次“命运”ω：得到一条每次 +1 跳变的阶梯计数曲线。
- 见第 2 节定义式；因为过程的任何概率问题最终都归结为某些时刻的联合行为。
- \(m=at,\ D=\sigma^2t,\ C=\sigma^2\min(s,t)\)；关键：增量拆分 + “独立⟹方差/交叉期望可加”，再用函数方程 f(x+y)=f(x)+f(y) ⟹ 线性。
- W(0)=0、零均值、平稳独立增量、\(N(0,\sigma^2t)\)；平稳独立增量、正态、马氏；\(C=\sigma^2\min(s,t)\)。
课件/第4 讲.pptx
第 4 讲 · 泊松过程 与 马尔可夫过程（一）
0 · 本讲导读
本讲是全课程的“心脏”。两个主角：泊松过程——描述“顾客随机到达”的数学模型，排队论的输入端；马尔可夫过程（一）——给出“无记忆”这一核心性质，排队论的骨架（生灭过程、M/M/1 全靠它）。课件明确说：泊松过程“在运筹学和排队论中的作用更为显著”。
为什么排队论在乎它：M/M/1 里的第一个 M 就是“到达是泊松过程”，第二个 M 是“服务时间是指数分布”（即点间距）。第 5 讲之后学的所有排队公式，追根溯源都到本讲。
- 泊松过程数字特征与计算：\(P\{N(t)=k\}\)、\(m=D=\lambda t\)、\(C=\lambda\min(s,t)\)、\(R=\lambda\min(s,t)+\lambda^2st\)；三类计算：直接套公式、增量拆分乘积、条件概率约去过去（课堂练习三小问是标准题型）；
- 两定义及等价性证明——微分方程法是本讲最可能考的证明题（也是第 6 讲柯氏方程、生灭过程的前置技能）；
- 点间距独立同指数、等待时间爱尔朗 ★★——"第 k 个到达时刻的期望"（k/λ）、"间隔超过 t 的概率"（\(e^{-\lambda t}\)）这类小题每年都有；
- 谁马氏谁不马氏——判断题+简答（独立增量 ⟹ 马氏 的证明要会）；
- 非齐次（积分出 m 再套泊松）、复合泊松（\(m_X=\lambda tE[Y],\ D_X=\lambda tE[Y^2]\)）各一道小计算。
1 · 泊松过程：两个定义及等价性
1.1 先认识“计数过程”与典型实例
若 \(N(t)\) 表示 \([0,t)\) 内某事件发生的次数（取非负整数、随 t 不减），\(\{N(t),t\ge0\}\) 称为计数过程。典型实例（课件 p.5）：到达超市的顾客数、电话交换台呼唤数、故障机器数、计数器接收粒子数、通信误码数……
- \(N(0)=0\)；
- 具有独立增量；
- 对任意 \(0\le s<t\)，\(N(t)-N(s)\sim P\big(\lambda(t-s)\big)\)，即 \[P\{N(t)-N(s)=k\}=\frac{[\lambda(t-s)]^k}{k!}e^{-\lambda(t-s)},\quad k=0,1,2,\dots\]
- \(N(0)=0\)；
- 具有平稳独立增量；
- \(P\{N(h)=1\}=\lambda h+o(h)\)；
- \(P\{N(h)\ge2\}=o(h)\)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 证明（微分方程法——排队论反复出现的手法，值得吃透））
破题切入点：1 ⟹ 2 ：条件 1) 相同；条件 2)（独立增量）即 b)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（证明（微分方程法——排队论反复出现的手法，值得吃透））
1 ⟹ 2：条件 1) 相同；条件 2)（独立增量）即 b)。再算 \[P\{N(h)=1\}=P\{N(h)-N(0)=1\}=\lambda h\,e^{-\lambda h}=\lambda h\,[1-\lambda h+o(h)]=\lambda h+o(h),\] \[P\{N(h)\ge2\}=1-P\{N(h)=0\}-P\{N(h)=1\}=o(h).\]
2 ⟹ 1：只需证 \(N(t)\sim P(\lambda t)\)。记 \(p_k(t)=P\{N(t)=k\}\)，用归纳法。
k=0：由独立增量与平稳性， \[p_0(t+h)=P\{N(t)=0\}P\{N(t+h)-N(t)=0\}=p_0(t)\,[1-\lambda h+o(h)],\] 整理得 \(\dfrac{p_0(t+h)-p_0(t)}{h}=-\lambda p_0(t)+\dfrac{o(h)}{h}\)，令 \(h\to0\)：\(p_0'(t)=-\lambda p_0(t)\)，初条件 \(p_0(0)=1\)，解得 \(p_0(t)=e^{-\lambda t}\)。
k≥1：“到 t+h 时刻恰有 k 个” = “到 t 有 k 个且最后 h 内没来” 或 “到 t 有 k−1 个且最后 h 内来一个”（来 ≥2 个是 o(h)）： \[p_k(t+h)=p_k(t)[1-\lambda h+o(h)]+p_{k-1}(t)[\lambda h+o(h)]+o(h).\] 同样取极限得微分方程 \(p_k'(t)=-\lambda p_k(t)+\lambda p_{k-1}(t)\)。
k=1：\(p_1'(t)=-\lambda p_1+\lambda e^{-\lambda t}\)，\(p_1(0)=0\)，解得 \(p_1(t)=\lambda te^{-\lambda t}\)。假设 \(p_{k-1}(t)=\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda t}\)，解一阶线性方程（乘 \(e^{\lambda t}\) 后积分）得 \(p_k(t)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}\)。归纳完成。
最后由平稳独立增量，对 \(0\le s<t\)：\(N(t)-N(s)\sim P(\lambda(t-s))\)。∎
这个“列微元概率 → 建微分方程 → 解方程”的三板斧，就是后面生灭过程、M/M/1 平衡方程的原型，现在务必看熟。
2 · 泊松过程的分布与数字特征
| 对象 | 结论 |
|---|---|
| 一维分布 | \(N(t)\sim P(\lambda t)\)：\(P\{N(t)=k\}=\dfrac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}\) |
| 均值 / 方差函数 | \(m(t)=E[N(t)]=\lambda t\)；\(D(t)=D[N(t)]=\lambda t\) |
| 一维特征函数 | \(\varphi(t;u)=e^{\lambda t(e^{iu}-1)}\)（第 2 讲泊松特征函数把 λ 换成 λt） |
| 二维分布 | 对 \(t>s\)：\(P\{N(s)=j,\,N(t)=k\}=P\{N(s)=j\}P\{N(t-s)=k-j\}\)（先固定前段，再独立地数后段），即 \(\dfrac{(\lambda s)^j}{j!}e^{-\lambda s}\cdot\dfrac{[\lambda(t-s)]^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\lambda(t-s)}\)，要求 \(k\ge j\)；否则为 0 |
| 协方差函数 | \(C(s,t)=\lambda\min(s,t)\) |
| 相关函数 | \(R(s,t)=\lambda\min(s,t)+\lambda^2st\) |
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 证明：R(s,t) 与 C(s,t)（第 3 讲同款拆分手法））
破题切入点：设 \(s<t\)，把 \(N(t)\) 拆成 \(N(t)=N(s)+[N(t)-N(s)]\)，两部分独立： \[R(s,t)=E\{N(s)[N(t)-N(s)]\}+E[N^2（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（证明：R(s,t) 与 C(s,t)（第 3 讲同款拆分手法））
设 \(s<t\)，把 \(N(t)\) 拆成 \(N(t)=N(s)+[N(t)-N(s)]\)，两部分独立： \[R(s,t)=E\{N(s)[N(t)-N(s)]\}+E[N^2(s)]=E[N(s)]\,E[N(t)-N(s)]+E[N^2(s)].\] 代入 \(E[N(s)]=\lambda s\)，\(E[N(t)-N(s)]=\lambda(t-s)\)，\(E[N^2(s)]=D(s)+m^2(s)=\lambda s+\lambda^2s^2\)： \[R(s,t)=\lambda s\cdot\lambda(t-s)+\lambda s+\lambda^2s^2=\lambda s+\lambda^2st.\] \[C(s,t)=R(s,t)-m(s)m(t)=\lambda s+\lambda^2st-\lambda s\cdot\lambda t=\lambda s.\] 一般写法：\(C(s,t)=\lambda\min(s,t),\ R(s,t)=\lambda\min(s,t)+\lambda^2st\)。∎
这正是第 3 讲“平稳独立增量 ⟹ \(C=\sigma^2\min(s,t)\)”定理的实例：这里 \(a=\sigma^2=\lambda\)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：① 用相关函数：\(E[N(2)N(3)]=R(2,3)=\lambda\min(2,3)+\lambda^2\cdot2\cdot3=2\times2+4\times6=28\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
① 用相关函数：\(E[N(2)N(3)]=R(2,3)=\lambda\min(2,3)+\lambda^2\cdot2\cdot3=2\times2+4\times6=28\)。
② 拆增量：\(=P\{N(2)=1\}\,P\{N(3)-N(2)=1\}=(e^{-4}\cdot4)\times(e^{-2}\cdot2)=8e^{-6}\approx0.0199\)。
③ 独立增量 + 平稳性：\(=P\{N(3)-N(2)=1\mid N(2)-N(0)=1\}=P\{N(1)=1\}=2e^{-2}\approx0.2707\)。
这三小问把本讲三个最常用套路各练一遍：R 函数公式、增量拆分乘积、条件概率约去“过去”。
3 · 两大性质：点间距与等待时间 ★★
记号：\(\tau_k\)=第 k 次事件发生的时刻（等待时间）；\(T_k=\tau_k-\tau_{k-1}\)=第 k−1 次到第 k 次的点间间距（\(\tau_0=0\)），\(\tau_k=T_1+\cdots+T_k\)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 证明（用“无事件概率”刻画间隔，手法经典））
破题切入点：\(T_1\) 的分布函数：\(P\{T_1>t\}=P\{\)在 \([0,t]\) 内无事件\(\}=P\{N(t)=0\}=e^{-\lambda t}\)，故 \(T_1\si \cdots\)（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（证明（用“无事件概率”刻画间隔，手法经典））
\(T_1\) 的分布函数：\(P\{T_1>t\}=P\{\)在 \([0,t]\) 内无事件\(\}=P\{N(t)=0\}=e^{-\lambda t}\)，故 \(T_1\sim E(\lambda)\)，密度 \(\lambda e^{-\lambda t}\)。
\(T_2\)：在 \(T_1=s_1\) 条件下， \[P\{T_2>t\mid T_1=s_1\}=P\{N(s_1+t)-N(s_1)=0\mid N(s_1)-N(0)=1\}\overset{\text{独立增量}}{=}P\{N(t)=0\}=e^{-\lambda t}.\] 即 \(T_2\) 与 \(T_1\) 独立且同分布。用数学归纳法推广到一切 \(T_n\)。∎
无记忆性的现身：“上一事件已过去多久”完全不影响“还要等多久”——指数分布的无记忆性（第 1 讲 ★ 分布）在这里变成了过程的性质。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 证明（事件等价法——比特征函数更初等的证法））
破题切入点：关键等价： “第 n 次事件发生在 t 之前” ⟺ “到 t 为止至少发生了 n 次” ，即 \(\{\tau_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（证明（事件等价法——比特征函数更初等的证法））
关键等价：“第 n 次事件发生在 t 之前” ⟺ “到 t 为止至少发生了 n 次”，即 \(\{\tau_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}\)。于是 \[F_{\tau_n}(t)=P\{\tau_n\le t\}=P\{N(t)\ge n\}=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t},\quad t\ge0.\] 求导（逐项求导后望远镜相消）： \[f_{\tau_n}(t)=\lambda\sum_{k=n}^{\infty}\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda t}-\lambda\sum_{k=n}^{\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}=\frac{\lambda(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda t}.\] 即 \(\tau_n\sim E_n\)。（另一种证法：第 2 讲例 11 特征函数三步曲——独立指数和 ⟹ 特征函数相乘 ⟹ \((\frac{\lambda}{\lambda-iu})^n\)。两条路都要会。）∎
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：(a) \(\tau_{10}\sim E_{10}\)，\(E(\tau_{10})=\dfrac{10}{\lambda}=10\)（天）。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
(a) \(\tau_{10}\sim E_{10}\)，\(E(\tau_{10})=\dfrac{10}{\lambda}=10\)（天）。
(b) 间隔 \(T_{11}\sim E(\lambda)\)：\(P\{T_{11}>2\}=e^{-\lambda\cdot2}=e^{-2}\approx0.135\)。
口诀：问“第 k 个到达”用爱尔朗（期望 k/λ），问“间隔”用指数（P{T>t}=e^{−λt}）。
4 · 非齐次泊松过程
- \(N(0)=0\)；
- 独立增量；
- \(P\{N(t+\Delta t)-N(t)=1\}=\lambda(t)\Delta t+o(\Delta t)\)；
- \(P\{N(t+\Delta t)-N(t)\ge2\}=o(\Delta t)\)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：以 8:00 为 t=0（小时）：8–11 点 \(\lambda(t)=5+5t\)（验证：λ(0)=5，λ(3)=20 ✓）；（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
以 8:00 为 t=0（小时）：8–11 点 \(\lambda(t)=5+5t\)（验证：λ(0)=5，λ(3)=20 ✓）；11–13 点 \(\lambda(t)=20\)；13–17 点 \(\lambda(t)=20-2(t-5)\)（λ(5)=20, λ(9)=12 ✓）。8:30→t=0.5，9:30→t=1.5。
累计强度： \[m=\int_{0.5}^{1.5}(5+5t)\,\mathrm dt=\Big[5t+\tfrac52t^2\Big]_{0.5}^{1.5}=(7.5+5.625)-(2.5+0.625)=10.\]
无顾客概率：\(P\{N(1.5)-N(0.5)=0\}=e^{-10}\approx4.5\times10^{-5}\)；均值 \(=m=10\) 人。
解题模板：分段写 λ(t) → 积分出 m → 套泊松公式。“线性变化”就是把 λ(t) 设成一次函数并核对两端点。
5 · 复合泊松过程
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 推导（全期望公式的又一次胜利））
破题切入点：均值 ：在 \(N(t)=n\) 条件下 \(E[X(t)\mid N(t)=n]=nE[Y]\)，故 \[E[X(t)]=E\big[E(X(t)\mid N(t))\big]=E\big（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（推导（全期望公式的又一次胜利））
均值：在 \(N(t)=n\) 条件下 \(E[X(t)\mid N(t)=n]=nE[Y]\)，故 \[E[X(t)]=E\big[E(X(t)\mid N(t))\big]=E\big[N(t)E[Y]\big]=\lambda t\,E[Y].\]
方差：用条件方差公式（或 \(E[X^2]=E[N\,\mathrm{Var}(Y)+N^2E^2(Y)]\)）： \[D[X(t)\mid N(t)=n]=n\,\mathrm{Var}(Y)\ \Rightarrow\ D[X(t)]=E[N(t)]\mathrm{Var}(Y)+\mathrm{Var}(N(t))E^2[Y]=\lambda t\,\mathrm{Var}(Y)+\lambda tE^2[Y]=\lambda t\,E[Y^2].\]
特征函数：在 \(N(t)=n\) 条件下是 n 个独立 \(Y_i\) 之和 ⟹ \(\varphi_Y(u)^n\)；对 N(t)（泊松）取期望： \[\varphi_X(t;u)=\sum_n \varphi_Y(u)^n\frac{(\lambda t)^n}{n!}e^{-\lambda t}=e^{\lambda t(\varphi_Y(u)-1)}.\]
6 · 更新计数过程
7 · 马尔可夫过程：马氏性与分类
马尔可夫过程四分类
| 状态 \ 参数 | 参数 T 离散 | 参数 T 连续 | |
|---|---|---|---|
| 状态空间 E | 离散 | 离散参数马氏链（本课程主角） | 连续参数马氏链（排队论用，第 6 讲起） |
| 连续 | 离散参数马氏序列 | 连续参数马氏过程 | |
8 · 谁是马氏过程？（判断题的“证明库”）
| 过程 | 是否马氏 | 理由 |
|---|---|---|
| 独立过程 \(\{X(t)\}\) | ✅ 是 | \(X(t_n)\) 与全部历史独立，当然也与“去掉更早历史”独立，(4.1) 成立 |
| 贝努利随机序列 | ✅ 是 | 独立序列的特例（离散参数马氏链） |
| 独立增量过程（\(X(0)=0\)） | ✅ 是 | 关键变形：\(X(t_n)-X(t_{n-1})<x_n-x_{n-1}\) 与更早增量独立；见下方证明 |
| 二项计数过程（随机游动） | ✅ 是 | 它是平稳独立增量过程 |
| 泊松过程 | ✅ 是 | 它是平稳独立增量过程 |
| 维纳过程 | ✅ 是 | 同上（第 3 讲已列其三大性质） |
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 证明：独立增量 ⟹ 马氏（最值得背的一个））
破题切入点：设 \(t_1<\cdots<t_n\)，\(X(0)=0\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（证明：独立增量 ⟹ 马氏（最值得背的一个））
设 \(t_1<\cdots<t_n\)，\(X(0)=0\)。把条件里的历史改写成增量： \[X(t_1)=X(t_1)-X(t_0),\ X(t_2)=X(t_2)-X(t_1),\ \dots,\ X(t_{n-1})=X(t_{n-1})-X(t_{n-2})\ (t_0=0),\] 而 \(X(t_n)<x_n\iff X(t_n)-X(t_{n-1})<x_n-x_{n-1}\)。于是左边 \[=P\{X(t_n)-X(t_{n-1})<x_n-x_{n-1}\mid X(t_1)-X(t_0)=x_1,\dots,X(t_{n-1})-X(t_{n-2})=x_{n-1}-x_{n-2}\}\] \[\overset{\text{增量独立}}{=}P\{X(t_n)-X(t_{n-1})<x_n-x_{n-1}\} =P\{X(t_n)<x_n\mid X(t_{n-1})=x_{n-1}\}. \qquad\blacksquare\]
直觉：“未来 = 现在 + 将来增量”，而将来增量与过去一切增量独立——马氏性就是独立增量的“加工品”。判断题里只要看到“独立增量”，立刻连锁反应：独立增量 ⟹ 马氏；泊松/维纳/二项计数都是 ⟹ 都是马氏。
9 · 离散参数马氏链：转移概率与转移矩阵
10 · 随机游动的四种边界
质点在整数点上游走：\(p_{i,i+1}=p\)（右移）、\(p_{i,i-1}=q\)（左移），将来只依赖当前位置 ⟹ 齐次马氏链。统计特征完全由“边界怎么处理”决定，四种经典边界（后两种以 \(E=\{1,2,3,4,5\}\) 为例）：
| 类型 | 边界规则 | 转移矩阵要点 |
|---|---|---|
| ① 自由（无限制） | \(E=\{\dots,-1,0,1,\dots\}\)，无边界 | 双无限矩阵，每行 \((\dots,q,0,p,\dots)\) |
| ② 两个吸收壁 | \(p_{11}=p_{55}=1\)：到 1/5 永远留下 | 第 1、5 行只有对角元 1；“赌徒破产”模型 |
| ③ 两个反射壁 | \(p_{12}=1,\ p_{54}=1\)：到边界必被弹回 | 边界行 1 元素：贴墙方向概率 1 |
| ④ 两个弹性壁 | \(p_{11}=q,\ p_{12}=p\)；\(p_{55}=p,\ p_{54}=q\)：边界上“多半被弹回，小概率停留”（自环） | 介于②③之间，边界带自环概率 |
11 · 本讲公式速查（一页纸素材）
| 泊松定义 2 | \(P\{N(h)=1\}=\lambda h+o(h),\ P\{N(h)\ge2\}=o(h)\)，平稳独立增量，\(N(0)=0\) |
| 一维分布 | \(P\{N(t)=k\}=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}\)；\(m(t)=D(t)=\lambda t\) |
| 二维分布 | \(P\{N(s)=j,N(t)=k\}=P\{N(s)=j\}P\{N(t-s)=k-j\}\ (t>s,k\ge j)\) |
| C 与 R | \(C(s,t)=\lambda\min(s,t)\)；\(R(s,t)=\lambda\min(s,t)+\lambda^2st\) |
| 点间距 | \(T_n\) iid ~ Exp(λ)；\(P\{T_n>t\}=e^{-\lambda t}\) |
| 等待时间 | \(\tau_n\sim E_n=\Gamma(n,\lambda)\)；\(E[\tau_n]=n/\lambda\)；\(\{\tau_n\le t\}\iff\{N(t)\ge n\}\) |
| 非齐次 | \(P\{N(b)-N(a)=k\}=\frac{m^k}{k!}e^{-m}\)，\(m=\int_a^b\lambda(s)ds\) |
| 复合泊松 | \(E[X(t)]=\lambda tE[Y]\)；\(D[X(t)]=\lambda tE[Y^2]\)；\(\varphi=e^{\lambda t(\varphi_Y(u)-1)}\) |
| 更新过程 | 间距 iid 任意分布；\(F_{\tau_k}=F_T^{*k}\)；\(P\{N(t)<k\}=1-F_{\tau_k}(t)\) |
| 马氏链 | \(p_{ij}(m,k)=P\{X(m+k)=j|X(m)=i\}\)；行和 1；齐次 ⟺ 与 m 无关 |
12 · 习题三与课堂练习
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：(1) \(P\{N(2)=3\}=\dfrac{4^3}{3! \cdots\)（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
(1) \(P\{N(2)=3\}=\dfrac{4^3}{3!}e^{-4}=\dfrac{32}{3}e^{-4}\approx0.195\)。
(2) 条件概率 + 增量独立： \[P\{N(2)=3\mid N(3)=5\}=\frac{P\{N(2)=3\}P\{N(3)-N(2)=2\}}{P\{N(3)=5\}}=\frac{\frac{4^3}{3!}e^{-4}\cdot\frac{2^2}{2!}e^{-2}}{\frac{6^5}{5!}e^{-6}}=\frac{64}{3}\cdot\frac{120}{7776}\approx0.329.\] （分子分母的 \(e^{-6}\) 恰好约掉——泊松条件概率常如此。）
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：(1) 验证定义 2：\(X(0)=0\)；（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
(1) 验证定义 2：\(X(0)=0\)；独立增量（两组独立过程的增量合在一起仍独立）；用微元： \[P\{X(h)=1\}=P\{N_1(h)=1,N_2(h)=0\}+P\{N_1(h)=0,N_2(h)=1\}=(\lambda_1h)(1)+(\lambda_2h)(1)+o(h)=(\lambda_1+\lambda_2)h+o(h),\] \[P\{X(h)\ge2\}=o(h).\] 故 \(X(t)\) 是强度 \(\lambda_1+\lambda_2\) 的泊松过程。（也可以走定义 1：独立泊松变量之和仍是泊松，参数相加。）
(2) \(Y(t)=N_1(t)-N_2(t)\) 可取负值（如 \(N_1(t)=0,N_2(t)=1\) 时 \(Y(t)=-1\)，概率 \(e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t}\lambda_2t>0\)），不满足“取非负整数值的计数过程”这一前提，故不是泊松过程。（它其实是“Skellam 分布”的差分过程。）
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 证明（稀疏化 / 稀薄化））
破题切入点：验证定义 2：① \(M(0)=0\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（证明（稀疏化 / 稀薄化））
验证定义 2：① \(M(0)=0\)。② 独立增量：不相交时段的记录数只依赖各自时段发射的粒子（互不相交的粒子集）与各自独立的记录，故独立。③ 微元： \[P\{M(h)=1\}=P\{N(h)=1\}\cdot p+P\{N(h)\ge2,\text{恰记录1}\}\le(\lambda h+o(h))\,p+o(h)=\lambda ph+o(h),\] （更精确地：\(P\{M(h)=1\}=\lambda h\,p+o(h)\)；）④ \(P\{M(h)\ge2\}=o(h)\)（两个以上记录需要两个以上发射或小概率事件，均为 \(o(h)\)）。 故 \(M(t)\) 是强度 \(\lambda p\) 的泊松过程。∎ （结论可记：泊松流按概率 p 稀释后仍是泊松流，速率乘 p——这正是第 3 讲习题二题 19 的正式版。）
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 证明）
破题切入点：记 \(A=\{X(2)=x_2,\dots,X(n)=x_n\}\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（证明）
记 \(A=\{X(2)=x_2,\dots,X(n)=x_n\}\)。由条件概率定义与链式分解（时齐性不需要，马氏性按正向用）： \[P\{X(1)=x_1\mid A\}=\frac{P\{X(1)=x_1,\,X(2)=x_2,\dots,X(n)=x_n\}}{P\{A\}} =\frac{P\{X(1)=x_1\}p_{x_1x_2}\,p_{x_2x_3}\cdots p_{x_{n-1}x_n}}{P\{X(2)=x_2\}\,p_{x_2x_3}\cdots p_{x_{n-1}x_n}}\] （正向联合分布用乘法公式 + 马氏性逐步分解）。约去公共因子 \(p_{x_2x_3}\cdots p_{x_{n-1}x_n}\)： \[=\frac{P\{X(1)=x_1\}\,p_{x_1x_2}}{P\{X(2)=x_2\}}=P\{X(1)=x_1\mid X(2)=x_2\}.\qquad\blacksquare\]
直觉：给定“现在 (X(2))”，“未来 (X(3..n)) 不携带关于”过去 (X(1))“的额外信息。
13 · 资料对照与下一步
文件夹资料对照
| 资料 | 用法 |
|---|---|
复习资料/电子笔记/2正态，维纳，泊松.pdf | 泊松过程的点间距/等待时间手写推导，与本讲第 3 节对照 |
作业/2018年秋-随机过程-课后习题解答(拾光客栈分享).ppt | 习题三（P98）12/15/19 的完整解答对照 |
历年试题/（2012–2019 各卷） | 泊松过程几乎每年一题（求概率 / 求条件概率 / 证明稀疏化），本讲 + 课堂练习三套路全覆盖 |
下一讲预告
马尔可夫过程（二）：齐次马氏链的性质（C-K 方程、P(n)=Pⁿ、初始/绝对/极限分布、遍历性、平稳分布）+ 状态分类（首达、互通、常返/非常返、正常返/零常返、状态空间分解、不可约、周期性）。第 5 讲是本课程随机过程部分的收官，也是历年计算大题（求平稳分布、判断状态性质）的出题区。
- 泊松两个定义各是什么？”判断某现象是否泊松流“该用哪个？
- 泊松过程的 m(t)、D(t)、C(s,t)、R(s,t)？点间距、等待时间分布及期望？
- 非齐次泊松里 [a,b) 恰来 k 个的概率公式？
- 复合泊松的均值方差公式？全期望公式在哪一步用上？
- 马氏性的定义？”独立增量 ⟹ 马氏“的证明关键一步？四种随机游动边界各自规则？
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 答案要点）
破题切入点：见第 1 节两定义框；验证建模用定义 2，计算用定义 1。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（答案要点）
- 见第 1 节两定义框；验证建模用定义 2，计算用定义 1。
- λt、λt、λmin(s,t)、λmin(s,t)+λ²st；T∼Exp(λ) 期望 1/λ；τₙ∼Eₙ 期望 n/λ。
- \(\frac{m^k}{k!}e^{-m}\)，\(m=\int_a^b\lambda(s)ds\)。
- λtE[Y]、λtE[Y²]；”在 N(t)=n 条件下求，再对 N 取期望“。
- 见第 7 节定义；”把历史改写成增量、未来增量与过去独立“；吸收/反射/弹性/自由见第 10 节表。