01 · 三门课程模块总控台（点击直达任意模块或目录）
每门课均采用统一的「本科遗忘急救 + 课件逐页精讲 + 课堂练习/作业全解 + 考前自测」结构，点击下方模块标签可直接进入对应笔记：
算法设计与分析
涵盖算法复杂度、分治（主定理/快速排序/平面最近点对）、动态规划五步法、贪心交换论证、回溯与分支限界、NP 完全性归约、网络流与近似算法。
随机过程及应用
完整覆盖课件 00–20：概率空间、R-S 积分、条件期望、特征函数、过程数字特征、宽/严平稳、独立增量性质 1.3.1/1.3.2、正态过程与维纳过程（第 9–10 次课新增）及第 1–2 章全套作业/课堂练习。
随机过程与排队论
覆盖第 1–6 讲及排队论扩展：概率基础、泊松过程三大定义与到达时间分布、离散时间马氏链（C-K/状态分类/平稳分布）、连续时间马氏链（Q 矩阵/柯氏微分方程）与 M/M/1、M/M/c 排队模型速查。
02 · 本科知识遗忘后的高效自学路线 & 两门随机课记号防混指南
《随机过程及应用》与《随机过程与排队论》前半学期有 70% 的内容高度互补：
- 先看本页下方《数学基础工具箱》：花 30 分钟把分部积分、等比级数、矩阵乘法、欧拉公式和全期望公式捡回来；
- 概率与特征函数：先读《应用》模块 1–3，配合《排队论》模块 1 的例题练手；
- 过程概念、平稳性与正态/维纳/泊松过程：《应用》模块 4–6 讲透了宽/严平稳、独立增量性质 1.3.1/1.3.2、正态过程与维纳过程；《排队论》模块 2 则把泊松过程讲得最细，两相对照效果极佳；
- 马氏链与排队模型：《排队论》模块 3–4 已把离散/连续时间马氏链讲完，可直接作为《应用》第五章的先修！
两门课选用不同教材，做哪门课的作业/考试就严格用哪门课的记号：
- 分布函数左右连续性：《随机过程及应用》定义 \(F(x)=P\{X\le x\}\)（右连续）；《随机过程与排队论》定义 \(F(x)=P\{X < x\}\)（左连续）。
- 虚数单位：《应用》课特征函数用工程习惯 \(j=\sqrt{-1}\)（\(\varphi(t)=E[e^{jtX}]\)）；《排队论》课用数学习惯 \(i=\sqrt{-1}\)。
- 平稳分布与公式成立前提：\(F'(x)=f(x)\) 仅对绝对连续分布成立；特征函数求导拿矩 \(\varphi^{(k)}(0)=j^k E[X^k]\) 需 \(E[|X|^k]<\infty\)；\(\boldsymbol\pi P=\boldsymbol\pi\) 是平稳分布方程，遍历收敛还需不可约 + 非周期 + 正常返。
数学基础工具箱 · 按需查阅
一 · 求导：从零捡回来
1.1 基本求导表（背下来，像背乘法口诀）
| 函数 | 导数 | 例子 |
|---|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\)（幂函数：指数掉下来、减一） | \((x^3)'=3x^2\)；\((\sqrt x)'=(x^{1/2})'=\tfrac12x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}\) |
| \(C\)(常数) | \(0\) | \((5)'=0\)；\((\pi)'=0\)——常数没有"变化" |
| \(e^x\) | \(e^x\)（自己求导还是自己，唯一的一个） | \((3e^x)'=3e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\ln a\) | \((2^x)'=2^x\ln2\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac1x\) | \((\ln 3x)'=\dfrac1x\)（\(\ln3x=\ln3+\ln x\)，常数求导消失） |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) | 三角对随机相位正弦波求均值时用 |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
1.2 四则法则
\(\left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}\)。
1.3 链式法则（复合函数：最重要，没有之一）
② \(e^{-\lambda x}\)：⟹ \(-\lambda e^{-\lambda x}\)。
③ \(\ln(x^2+1)\)：外层 ln，内层 \(2x\) ⟹ \(\dfrac{2x}{x^2+1}\)。
④ 特征函数场景：\(\big(e^{\lambda(e^{iu}-1)}\big)'\)：剥两层，先外层 \(e^{(\square)}\) 保留并乘内层导 \(\lambda i e^{iu}\)，得 \(\lambda i e^{iu}e^{\lambda(e^{iu}-1)}\)（泊松特征函数求导，矩公式第一步）。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 答案）
破题切入点：① \(5x^4\)；② 链式+乘法：\(e^{2x}+2xe^{2x}=(1+2x)e^{2x}\)；（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（答案）
二 · 积分：与求导互为逆操作
2.1 基本积分表（由求导表反推）
| 积分 | 结果 | 备注 |
|---|---|---|
| \(\int x^n\,\mathrm dx\ (n\ne-1)\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) | 幂函数：指数加一、除以新指数；别丢 +C |
| \(\int \dfrac1x\mathrm dx\) | \(\ln|x|+C\) | 唯一例外（n=−1） |
| \(\int e^{ax}\,\mathrm dx\) | \(\dfrac1a e^{ax}+C\) | "除以内部导数" |
| \(\int_a^b e^{-\lambda x}\mathrm dx\) | \(\dfrac{e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}}{\lambda}\) | 定积分直接代端点相减 |
2.2 分段函数积分（概率密度 90% 长这样）
2.3 分部积分（"乘积求导法则"的逆用；期望计算的王牌）
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 完整解答）
破题切入点：取 \(u=x\)（幂），\(\mathrm dv=\lambda e^{-\lambda x}\mathrm dx\) ⟹ \(\mathrm du=\mathrm dx\)，\(v=-e \cdots\)（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（完整解答）
取 \(u=x\)（幂），\(\mathrm dv=\lambda e^{-\lambda x}\mathrm dx\) ⟹ \(\mathrm du=\mathrm dx\)，\(v=-e^{-\lambda x}\)：
\[E(X)=\Big[-xe^{-\lambda x}\Big]_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-\lambda x}\,\mathrm dx=0+\Big[-\frac1\lambda e^{-\lambda x}\Big]_0^{\infty}=\frac1\lambda.\]两个边界值：x→∞ 时 \(e^{-\lambda x}\to0\) 压倒 x；x=0 时 \(x=0\)。再求 \(E(X^2)\) 同样分部两次：\(\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}\mathrm dx=\dfrac2{\lambda^2}\)，故 \(D(X)=\dfrac2{\lambda^2}-\dfrac1{\lambda^2}=\dfrac1{\lambda^2}\)。这两行结果是排队论的家底（平均服务时长 1/μ），建议亲手推一遍。
2.4 广义积分（积分上限是 ∞）
三 · 级数与极限：两件高频武器
3.1 等比级数求和（离散分布归一化的钥匙）
有限和：\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\)。
3.2 两个高频极限与 o(h) 记号
3.3 泰勒展开（特征函数展开、小 o 的来源）
用法示例：正态特征函数 \(\varphi(u)=e^{iu\mu-\frac12\sigma^2u^2}\) 展开，\(\varphi(u)=1+iu\mu-\frac12\mu^2u^2-\frac12\sigma^2u^2+\cdots\)，对照通用式 \(\varphi(u)=1+iuE(X)-\frac12E(X^2)u^2+\cdots\) 直接读出 \(E(X)=\mu,\ E(X^2)=\mu^2+\sigma^2\)——矩公式的"免求导版"。
四 · 求和符号 Σ 与排列组合
4.1 Σ 记号三分钟
4.2 计数两原理与 C、P
排列 \(P_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\)（挑 k 个还要排顺序）；组合 \(\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)（只挑不排）。
二项式定理：\((p+q)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk p^kq^{n-k}\)——它就是二项分布归一化的证明（p+q=1）。
五 · 线性代数最小集（马氏链专用）
5.1 矩阵乘矩阵：行乘列
5.2 特征值与特征向量（2×2 直接公式）
六 · 复数速成（特征函数的世界）
② 欧拉公式：\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)（复平面上单位圆上的一点，角度 θ）。
③ 指数好性质：\(e^{i\theta}\cdot e^{i\phi}=e^{i(\theta+\phi)}\)；\(|e^{i\theta}|=1\)；\(\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}\)。
② \(\overline{\varphi(u)}=\varphi(-u)\)（共轭对称，教材性质）；
③ \(e^{iux}\) 对 x 求导 = \(iux\) 那套链式：\((e^{iux})'=iue^{iux}\)——矩公式求导的每一步都是它。
七 · 概率结论速查（推导时随手查）
| 结论 | 内容 | 哪里用 |
|---|---|---|
| 期望线性 | \(E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\)（无需独立） | 所有 m(t) 计算 |
| 独立⟹可乘/方差可加 | \(E(XY)=E(X)E(Y)\)；\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\) | 协方差推导 |
| D 的恒等式 | \(D(X)=E(X^2)-E^2(X)\) | 求方差第二行 |
| 归一化 | 离散 \(\sum p_k=1\)；连续 \(\int f=1\) | 求参数第一招 |
| 正态线性组合 | 独立正态的线性组合仍正态，均值方差各自叠加 | 维纳/高斯过程 |
| 条件概率 | \(P(B\mid A)=P(AB)/P(A)\)；乘法公式；全概率；贝叶斯 | 第一章大题 |
| 函数分布 | 分布函数法四步（万能）；单调公式 \(f_Y=f(h(y))|h'|\) | 求 Y=g(X) |
| 全期望 | \(E(X)=E[E(X\mid Y)]\)："随机个数×个体均值" | 复合型期望 |
八 · 考前十分钟急救包
- 幂函数求导 → 指数掉下来减一；
- \(e^{(\square)}\) 求导 → 保留原样乘"内部导数"；
- \(\int x^n\) → 指数加一除以新指数（n=−1 时是 ln）；
- 分段密度求 F → x 在哪段就把左边全积上，区域外封顶 0/1；
- \(\int x e^{-\lambda x}\) → 分部积分，答案 \(\frac1{\lambda^2}\)（期望计算原型）；
- 等比级数 → \(\sum x^k=\frac1{1-x}\)；
- \(\binom nk\) → 计数，分母分子一套；二项归一化 = 二项式定理；
- \(\boldsymbol vP\) → v 配 P 的第 j 列，行和必为 1；
- \(e^{i\theta}\) → \(\cos\theta+i\sin\theta\)，模恒 1，共轭=负角度；
- 两门课记号 → 排队论 \(P\{X<x\}\) 左连续；应用课 \(P\{X\le x\}\) 右连续、虚数写 j。
九 · 从大学数学重新上手：三种最常考的计算
9.1 分布函数变密度函数
密度 \(f\) 不等于概率；连续型随机变量的区间概率是曲线下的面积。若 \(X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)\)，则对 \(x\ge0\)，\(F(x)=1-e^{-\lambda x}\)，求导得 \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\)；在 \(x<0\) 区间二者分别为 0。需要验证 \(\int_0^\infty\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm dx=1\)。
9.2 条件概率和贝叶斯（不要只背字母）
设某事件的先验概率为 \(P(H)=0.02\)，检测灵敏度 \(P(+\mid H)=0.95\)，误报率 \(P(+\mid H^c)=0.05\)。阳性后的概率为 \(P(H\mid+)=\frac{0.95\times0.02}{0.95\times0.02+0.05\times0.98}=\frac{0.019}{0.068}\approx0.2794\)。分母必须包含两类产生阳性的途径。
9.3 独立指数变量之和的卷积
若 \(X,Y\) 独立且均服从 \(\operatorname{Exp}(\lambda)\)，则 \(Z=X+Y\) 的密度 \(f_Z(z)=\int_0^z \lambda e^{-\lambda x}\cdot\lambda e^{-\lambda(z-x)}\,\mathrm dx=\lambda^2 z e^{-\lambda z}\)（\(z\ge0\)），即 Erlang(2,\(\lambda\))。算卷积时先画出积分区间，别把 \(x\in[0,z]\) 忘掉。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 基础自测：条件概率和卷积各有什么必要条件？）
破题切入点：初等式 \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\) 要求 \(P(B)>0\)；（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（基础自测：条件概率和卷积各有什么必要条件？）
初等式 \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\) 要求 \(P(B)>0\)；上述乘积型卷积公式直接使用了 \(X,Y\) 相互独立且存在密度的条件。
十 · 矩阵方程是怎么落到马尔可夫链上的
10.1 行随机矩阵与稳态方程
把 \(P=\begin{pmatrix}0.8&0.2\\0.1&0.9\end{pmatrix}\) 看成行随机矩阵，每一行加起来是 1。若行向量 \(\pi=(p,1-p)\) 是平稳分布，\(\pi P=\pi\) 给出 \(0.2p=0.1(1-p)\)，故 \(p=1/3\)、\(\pi=(1/3,2/3)\)。不要把行向量当列向量而写成 \(P\pi=\pi\)。
10.2 三种常见“特征值/特征向量”困惑
\(Pv=v\) 用的是右特征向量；\(\pi P=\pi\) 用的是左特征向量，二者没有理由逐项相同。平稳分布还要求非负与和为 1；仅找到特征值 1 并不自动证明遍历收敛。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 自测：为什么还需要检查周期？）
破题切入点：\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) 也有平稳分布 \((1/2,1/2)\)，但从确定状态出发的链在两个状态间交替，分布不会逐步收敛。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（自测：为什么还需要检查周期？）
\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) 也有平稳分布 \((1/2,1/2)\)，但从确定状态出发的链在两个状态间交替，分布不会逐步收敛。稳态存在和极限收敛是两回事。
严谨条件与算法数学补充
以下内容合并自原《前置数学补充》，与工具箱的求导、积分、矩阵章节互为补充；这里着重公式使用边界和算法离散数学。
1. 算法课的三件数学工具
渐近记号：$f(n)=O(g(n))$ 表示存在 $C,n_0$，当 $n\ge n_0$ 时 $|f(n)|\le C|g(n)|$。$f(n)=\Theta(g(n))$ 表示同时有上界与下界；$f(n)=o(g(n))$ 指极限比为 0（若分母最终非零）。大 O 本身不是函数数值，别写 $O(n^2)<O(2^n)$。
数列与对数：$\sum_{k=0}^{n-1} 2^k=2^n-1$；$\sum_{k=1}^n k=n(n+1)/2$；$\log_a n=\log_b n/\log_b a$。
递归式：$T(n)=2T(n/2)+n=\Theta(n\log n)$；$T(n)=T(n/2)+1=\Theta(\log n)$。Master 定理常见三种形式并非适用于所有 $f(n)$；含有 $n^{\log_b a}\log^k n$ 需要更一般形式或递归树分析。
2. 概率密度、期望与方差的适用条件
密度 $f$ 存在时 $P(a<X\le b)=\int_a^b f(x)\\,dx$；离散/混合分布存在原子跳跃，不可直接只用密度积分。$E[X^2]<\infty$ 时 $\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2$。条件期望 $E[X\mid Y]$ 不是简单把条件写成 $Y=y$ 的概率比，尤其 $P(Y=y)=0$ 时须使用条件密度或正则条件分布。
3. 马尔可夫链与平稳
$\pi P=\pi$ 表示若初始分布为 $\pi$，以后一直不变；与“对任何初始分布都收敛到 $\pi$”不同。有限不可约非周期离散链才保证后者；有限不可约连续时间链在通常非爆炸假设下有相应收敛结论。
4. 复数特征函数与矩
$\varphi_X(t)=E[e^{itX}]$ 总存在，因为被积函数模为 1；由导数求矩要有可积性等条件，不能只看形式上的导数就断言矩存在。独立时 $\varphi_{X+Y}=\varphi_X\varphi_Y$，不独立一般不成立。
5. 可控学习顺序
集合/计数 → 求导/积分 → 概率分布 → 条件期望 → 级数/ODE → 线代特征向量 → 随机过程；算法另补归纳法、图、递归式与复杂度分析。学完每节尝试写出一项使用条件和一个反例，比机械背公式更可靠。
算法课专用：最容易忘的离散数学
对数：\(2^k=n\) 两边取对数得 \(k=\log_2 n\)，所以每轮折半的循环迭代次数与 \(\log n\) 同阶。
求和：循环执行 \(1+2+\cdots+n=n(n+1)/2=\Theta(n^2)\) 次；等比求和 \(1+2+\cdots+2^{k-1}=2^k-1\)。比较增长阶时要先写 \(n\to\infty\)，不要忽略常数。
递推：对 \(T(n)=2T(n/2)+n\) 可画递归树得到 \(\Theta(n\log n)\)；对 \(T(n)=T(n-1)+n\) 逐项展开得 \(\Theta(n^2)\)。主定理的标准形式是 \(T(n)=aT(n/b)+f(n)\)，不是所有递推式都能直接套。
排列与组合：有序排列候选解通常是 \(n!\)，取或不取的子集树有 \(2^n\) 片叶子；回溯复杂度分析时区分树节点数、合法解数与输出成本。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 练习：\(T(n)=T(n/2)+1\)（\(n=2^k\)）求确切递推次数）
破题切入点：从 \(n\) 到 1 共折半 \(k=\log_2n\) 次，若 \(T(1)=1\)，则 \(T(n)=1+\log_2n=\Theta(\log n)\)。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（练习：\(T(n)=T(n/2)+1\)（\(n=2^k\)）求确切递推次数）
从 \(n\) 到 1 共折半 \(k=\log_2n\) 次，若 \(T(1)=1\)，则 \(T(n)=1+\log_2n=\Theta(\log n)\)。
旧先修笔记保留的独有部分：ODE 与多元微积分
一阶常微分方程（泊松过程与生灭过程常用）
可分离变量的方程 \(x'=\lambda x\) 化为 \(\mathrm dx/x=\lambda\,\mathrm dt\)，积分得 \(x(t)=Ce^{\lambda t}\)。线性方程 \(y'+ay=b(t)\) 两侧同乘积分因子 \(e^{at}\)，得到 \((ye^{at})'=e^{at}b(t)\)，再积分并代初值。
例如 \(p_0'(t)=-\lambda p_0(t),\ p_0(0)=1\)，所以 \(p_0(t)=e^{-\lambda t}\)；递推方程 \(p_k'=-\lambda p_k+\lambda p_{k-1}\) 逐级乘积分因子，可以得到齐次泊松过程 \(p_k(t)=e^{-\lambda t}(\lambda t)^k/k!\)。这些是补课示例，不代替教师后续讲次。
二重积分、换序与二维雅可比
求联合分布、边缘密度时先画积分区域。三角形 \(D=\{0\le x\le 1,0\le y\le 1-x\}\) 的积分写为 \(\int_0^1\int_0^{1-x} f(x,y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx\)。边缘密度 \(f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dy\)，但积分范围必须遵守原联合密度的支持集。
若变量反变换为 \(x=x(u,v),y=y(u,v)\)，则 \(f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))|\partial(x,y)/\partial(u,v)|\)，其中绝对值表示面积缩放。例：\(U=X+Y,V=X-Y\)，反解 \(x=(u+v)/2,y=(u-v)/2\)，雅可比行列式为 \(-1/2\)，故取绝对值 \(1/2\)。还应同时变换区域，不能只代入行列式。
适用条件自检
普通密度关系 \(F'=f\) 通常要求分布绝对连续（几乎处处成立）；从特征函数求矩须核查矩存在；平稳分布 \(\pi P=\pi\) 不直接推出从任意初始分布收敛；概率定义 \(P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)\) 要求 \(P(B)>0\)。
十一 · 多元正态、二次型与实对称矩阵正交对角化（随机过程第 2 章专用）
一维正态分布只需要均值 \(\mu\) 和方差 \(\sigma^2\)；但随机过程在 \(n\) 个时刻 \(t_1,\dots,t_n\) 的状态构成 \(n\) 维向量 \(\mathbf{X}=(X(t_1),\dots,X(t_n))^T\)，任意两个时刻之间都有协方差 \(b_{jk}=\operatorname{Cov}(X(t_j),X(t_k))\)。把这 \(n^2\) 个协方差排成方阵，就是协方差矩阵 \(B=(b_{jk})_{n\times n}\)。
11.1 二次型与正定/半正定矩阵的 30 秒判别法
设 \(B\) 是 \(n\times n\) 实对称矩阵（\(B^T=B\)），列向量 \(\mathbf{t}=(t_1,\dots,t_n)^T\)，则标量多项式 \(Q(\mathbf{t}) = \mathbf{t}^T B \mathbf{t} = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n b_{jk} t_j t_k\) 称为二次型。在概率论中，线性组合 \(\mathbf{t}^T\mathbf{X}\) 的方差恰好等于这个二次型：\(D\bigl(\mathbf{t}^T\mathbf{X}\bigr) = \mathbf{t}^T B \mathbf{t} \ge 0\)。
- 半正定（非负定）：对任意 \(\mathbf{t}\in\mathbb{R}^n\) 有 \(\mathbf{t}^T B \mathbf{t} \ge 0 \iff B\) 的特征值 \(\lambda_k \ge 0\)。任何协方差矩阵都必然半正定！
- 正定（非退化）：对任意 \(\mathbf{t}\neq\mathbf{0}\) 有 \(\mathbf{t}^T B \mathbf{t} > 0 \iff |B|>0\)（顺序主子式全大于 0）。此时 \(B^{-1}\) 存在，可写出 \(n\) 维正态密度函数。
- 奇异（退化，\(|B|=0\)）：存在非零向量 \(\mathbf{t}\) 使 \(D(\mathbf{t}^T\mathbf{X})=0\)，各分量间存在严格线性依赖，此时无普通密度函数，只能用特征函数 \(\varphi(\mathbf{t})=\exp(j\boldsymbol\mu^T\mathbf{t}-\frac{1}{2}\mathbf{t}^T B\mathbf{t})\) 描述。
11.2 线性变换 \(\mathbf{Y}=C\mathbf{X}\) 与正交对角化 \(U^T B U = \Lambda\)
正交去相关原理：存在正交矩阵 \(U\)（\(U^{-1}=U^T\)）使 \(U B U^T = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\)。在 \(\mathbf X\) 联合正态的前提下，令 \(\mathbf{Y}=U\mathbf{X}\)，则 \(\mathbf{Y}\) 仍是联合正态且协方差阵为对角阵，故各分量相互独立。一般非正态随机向量经正交去相关后只能保证零协方差，不能直接推出独立。
十二 · 柯西函数方程与阿贝尔裂项求和（独立增量过程专用）
- 连续柯西方程：若连续函数 \(y(t)\) 在 \(t\ge 0\) 上满足 \(y(t+s) = y(t) + y(s)\)，则必有 \(y(t) = y(1) t\)。
- 小区间拆大区间（\(\min(s,t)\) 的来源）：假设 \(X(0)=0\) 几乎处处、增量独立、具有有限二阶矩，且 \(\operatorname{Var}(X(t))=\sigma^2t\)。当 \(s
- 阿贝尔分部求和（状态转增量）：\(\sum_{k=1}^n \theta_k X(t_k) = (\sum_{j=1}^n \theta_j)X(t_1) + \sum_{k=2}^n (\sum_{j=k}^n \theta_j)[X(t_k)-X(t_{k-1})]\)。
十三 · V3 笔记系统功能速查、快捷键与仓库结构指南
- 🔍 全局跨课搜索（快捷键
Ctrl + K）：内置离线全站索引（无需联网或额外 JSON 文件，双击本地 HTML 即可跨三门课检索 300+ 定理、考场信号词、算法与例题锚点）。 - ⚡ 背诵模式：一键隐藏普通推导、背景故事与代码实现，仅保留核心定义（📘）、定理（⭐）、易错警告（⚠️）、速查表及手动勾选“📌 收入一页纸”的重点题。
- 🌙 护眼模式：两门随机课采用深海板岩暗色，算法课定制暗夜森林绿配色，状态自动持久化至浏览器本地存储。
- ☐ 已掌握 / 📌 收入一页纸：每道例题与自测题右上角独立打卡，配合“💡 破题提示 + 📝 完整推导”双层折叠实现遮答案自测。
- 《随机过程及应用》：笔记目录 · 模块 1–6（课件 00–20 全覆盖）· 约定右连续 \(F(x)=P\{X\le x\}\)、虚数 \(j\)、R-S 积分。
- 《随机过程与排队论》：笔记目录 · 模块 1–4（第 1–6 讲 + 排队论模型）· 📊 M/M/1 排队仿真代码阅读器 · 约定左连续 \(F(x)=P\{X<x\}\)、虚数 \(i\)。
- 《算法设计与分析》：笔记目录 · 模块 1–4（含期末禁写代码四步自然语言模板 + 信号词速查表）· 🐍 16 大算法标准 Python 实现 · ✅ 单元测试套件。