第二章 重要随机过程：正态过程与维纳过程（布朗运动）

1. 正态过程与数字特征：因 \((X(t_1),\dots,X(t_n))^T = C_{n\times 2}(\xi,\eta)^T\) 是二维正态向量的线性变换，故为正态过程；\(m(t)=0\)，\(C(s,t)=R(s,t)=\sigma^2\cos\omega(t-s)\)。
2. 一维与二维密度：一维 \(X(t)\sim N(0,\sigma^2)\)；二维当 \(\omega(t_2-t_1)\neq k\pi\) 时相关系数 \(\rho=\cos\omega(t_2-t_1)\)，二维密度为： \[f(x_1,x_2;t_1,t_2) = \frac{1}{2\pi\sigma^2|\sin\omega(t_2-t_1)|}\exp\left\{-\frac{x_1^2 - 2\cos\omega(t_2-t_1)x_1 x_2 + x_2^2}{2\sigma^2\sin^2\omega(t_2-t_1)}\right\}.\]
3. \(n\ge 3\) 时必退化：因仅含 2 个独立正态源 \((\xi,\eta)\)，当 \(n\ge 3\) 时 \(\operatorname{rank}(B_n)\le 2 < n\)，故为退化正态过程。

• Ex.3：独立正态过程之和 \(Z(t)=X(t)+Y(t)\) 仍为正态过程（联合特征函数相乘仍为正态型）。
• 书本例 2.1.5 & Ex.4：设 \(\{X(t)\}\) 为正态过程，则增量过程 \(\{X(t+\tau)-X(\tau)\}\)、尺度变换 \(\{X(\lambda t)/\sqrt{\lambda}\}\)、时间反演 \(\{tX(1/t)\}\)、固定起点增量 \(\{X(t+t_0)-X(t_0)\}\) 均为正态过程（写出增广向量与变换矩阵 \(C\)，由定理 2.1.4 即证）。

题目：设零均值平稳正态过程自协方差为 \(C(\tau)=\frac{\sin\tau}{\tau}\ (C(0)=1)\)，求在 \(t_1,\; t_2=t_1+\frac{\pi}{2},\; t_3=t_1+\pi\) 处的三维联合密度 \(f(x_1,x_2,x_3)\)。

解答：因 \(C(0)=1,\; C(\pi/2)=\frac{2}{\pi},\; C(\pi)=0\)，协方差矩阵 \(B\)、行列式 \(|B|\) 与逆矩阵 \(B^{-1}\) 为：

\[B = \begin{pmatrix} 1 & \frac{2}{\pi} & 0 \\[4pt] \frac{2}{\pi} & 1 & \frac{2}{\pi} \\[4pt] 0 & \frac{2}{\pi} & 1 \end{pmatrix},\quad |B| = 1 - \frac{8}{\pi^2} = \frac{\pi^2-8}{\pi^2},\quad B^{-1} = \frac{\pi^2}{\pi^2-8}\begin{pmatrix} 1-\frac{4}{\pi^2} & -\frac{2}{\pi} & \frac{4}{\pi^2} \\[4pt] -\frac{2}{\pi} & 1 & -\frac{2}{\pi} \\[4pt] \frac{4}{\pi^2} & -\frac{2}{\pi} & 1-\frac{4}{\pi^2} \end{pmatrix}.\]

代入三维正态密度公式得：

\[f(x_1,x_2,x_3) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi(\pi^2-8)}}\exp\left\{-\frac{(\pi^2-4)(x_1^2+x_3^2) + \pi^2 x_2^2 - 4\pi x_2(x_1+x_3) + 8x_1 x_3}{2(\pi^2-8)}\right\}.\]

非平稳正态模型（课件 p.12–13）：① \(X(t)=tZ\ (C(s,t)=st)\)；② 维纳过程 \(W(t)\)；③ 确定性时变信号叠加平稳高斯噪声 \(X(t)=S(t)+N(t)\sim N(S(t),\sigma^2)\)（因均值 \(S(t)\) 随 \(t\) 变，故非平稳）。

1. 第 1 题（两时刻联合分布）：\(P\{X(t)=\pm1\}=\frac12\)；对给定的两个不同时刻，若同号的两个联合概率各为 \(\frac16\)、异号的两个联合概率各为 \(\frac13\)，则 \(m_X(t)=0,\;D_X(t)=1\)，这一对时刻的相关函数与协方差为 \(R_X(s,t)=C_X(s,t)=2(\frac16)-2(\frac13)=-\frac13\)。不能直接推广为任意多时刻的完整过程：若假设所有不同时间点均有相同协方差 \(-1/3\)，取 \(n\) 个不同时刻，协方差矩阵为 \(\frac43 I_n-\frac13\mathbf1\mathbf1^T\)，沿 \(\mathbf1\) 方向的特征值为 \((4-n)/3\)；当 \(n\ge5\) 时为负，与协方差矩阵须半正定矛盾。题给的两时刻数据只能推出该对时刻的结论。
2. 第 2 题：\(X(t)=A\cos\omega t\)（\(E[A]=\mu, D(A)=\sigma^2>0\)）\(\implies m_X(t)=\mu\cos\omega t\)，\(C_X(s,t)=\sigma^2\cos\omega s\cos\omega t\) 依赖 \(s,t\) 而非仅 \(t-s\)，非宽平稳。
3. 第 3 题：\(X(t)=a\cos(\omega t+\Theta),\; \Theta\sim U(-\pi,\pi)\) \(\implies m_X(t)=0, R_X(s,t)=\frac{a^2}{2}\cos\omega(t-s)\) 宽平稳；联合特征函数中令 \(\theta'=\theta+\omega\tau\)，由 \(2\pi\) 周期函数在整周期上积分与起点无关，证得严平稳。
4. 第 4 题：\(X(t)=A_1 e^{j(\omega_1 t+\theta_1)}+A_2 e^{j(\omega_2 t+\theta_2)}\)（\(\theta_1,\theta_2\sim U(0,2\pi)\) 独立）\(\implies m_X(t)=0\)，复自相关 \(R_X(s,t)=E[X(s)\overline{X(t)}] = |A_1|^2 e^{-j\omega_1(t-s)} + |A_2|^2 e^{-j\omega_2(t-s)}\)，宽平稳。
5. 第 5 题（维纳过程 \(n\) 维联合密度）：令 \(0=t_0边界：要求时刻严格递增且 \(t_1>0\)；若包含 \(t=0\) 或重复时刻，联合分布退化，不能照搬普通 \(n\) 维密度。
6. 第 6 题（正态过程的固定窗口增量仍为正态过程）：令 \(Y(t)=X(t+a)-X(t)\)，固定 \(a>0\)。任取 \(t_1,\dots,t_n\)，先组成 \(2n\) 维向量 \(\mathbf Z=(X(t_1+a),\dots,X(t_n+a),X(t_1),\dots,X(t_n))^T\)；因为 \(X\) 是正态过程，\(\mathbf Z\) 联合正态。再取 \(C=(I_n,-I_n)\)，有 \((Y(t_1),\dots,Y(t_n))^T=C\mathbf Z\) 仍为联合正态。因此 \(Y\) 是正态过程；但不必然是维纳过程，也不必然平稳。

1. 第 1 题（宽平稳指数协方差积分的均值与方差）：\(m_X(t)=m,\; C_X(\tau)=\sigma^2 e^{-\alpha|\tau|}\)，令 \(Y=\frac{1}{T}\int_0^T X(t)\,\mathrm{d}t\)。则 \(E[Y]=m\)；利用正方形区域关于 \(s=t\) 对称折半积分： \[D(Y) = \frac{1}{T^2}\int_0^T\int_0^T \sigma^2 e^{-\alpha|t-s|}\,\mathrm{d}s\,\mathrm{d}t = \frac{2\sigma^2}{T^2}\int_0^T \mathrm{d}t\int_0^t e^{-\alpha(t-s)}\,\mathrm{d}s = \frac{2\sigma^2}{\alpha^2 T^2}\bigl(\alpha T + e^{-\alpha T} - 1\bigr).\]
2. 第 2 题（高斯调制余弦波 \(Y(t)=X(t)\cos(\omega t+\Theta)\)）：\(\{X(t)\}\) 零均值平稳正态，\(\Theta\sim U(0,2\pi)\) 独立 \(\implies m_Y(t)=0,\; R_Y(\tau)=\frac{1}{2}R_X(\tau)\cos\omega\tau\)，故是宽平稳过程；但因两个随机变量相乘（非线性），一维四阶矩 \(E[Y^4]=\frac{9}{8}R_X^2(0)\neq 3(D(Y))^2=\frac{3}{4}R_X^2(0)\)，故不是正态过程！
3. 第 3 题（标准维纳过程条件概率与线性组合概率）：
   ① \(P\{W(2)>1\mid W(1)=1\}=\frac12\)：此处 \(P\{W(1)=1\}=0\)，应按正则条件分布（或正态条件密度）理解，不能把它写成两个零概率之比。由增量 \(W(2)-W(1)\sim N(0,1)\) 与 \(W(1)\) 独立，给定 \(W(1)=1\) 后即求 \(P\{W(2)-W(1)>0\}=\frac12\)；
   ② \(W(1)+W(2) = 2W(1) + [W(2)-W(1)] \sim N(0, 2^2\times 1 + 1) = N(0,5)\)，故 \(P\{W(1)+W(2)>2\} = 1 - \Phi\bigl(\frac{2}{\sqrt{5}}\bigr)\)。