自学导读 · 平稳过程与独立增量
① 遗忘知识补足
宽平稳要求 E|X(t)|² 有限、均值恒定、协方差只依赖时间差；独立增量不等于各时刻随机变量独立。平稳独立增量过程的均值方差线性公式还需 X(0)=0、相关矩有限等前提。
② 推导或例题
标准布朗运动 B(t) 的协方差为 min(s,t)，增量平稳且独立，但 Var(B(t))=t 不恒定，因此 B(t) 本身不是宽平稳。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · ③ 考前自测（展开））
破题切入点：若 X(t)=Ucos(t)+Vsin(t)，U、V 独立标准正态，求其协方差并判断宽平稳、严平稳。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（③ 考前自测（展开））
若 X(t)=Ucos(t)+Vsin(t)，U、V 独立标准正态，求其协方差并判断宽平稳、严平稳。
补充训练不替代教师本学期课件与考核通知。
增量过程的时间范围
“二项计数过程”的常见构造是每个整数时刻完成一次独立 Bernoulli 试验的离散时间计数过程；其整数区间上的增量平稳且独立。不能据此自动推断其在任意实数时间上满足齐次泊松过程定义。套用线性均值和方差结论时先核对时间参数域、初始值和二阶矩条件。
宽平稳和严平稳的判别：随机正弦波
令 \(U,V\) 相互独立且均为 \(N(0,1)\)，设 \(X(t)=U\cos t+V\sin t\)。
- 均值 \(m(t)=0\)。
- \(C(s,t)=\cos s\cos t+\sin s\sin t=\cos(t-s)\)，仅与时差有关；\(D(t)=1\)，故宽平稳。
- 任取 \(t_1,\ldots,t_n\)，向量 \((X(t_1),\ldots,X(t_n))\) 是 \((U,V)\) 的线性变换，因此联合高斯；均值向量全零，协方差矩阵各元只依赖 \(t_i-t_j\)。
- 高斯向量由均值和协方差确定分布，整体时间平移不改变所有有限维分布，因此该过程还严格平稳。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 自测：布朗运动有平稳独立增量，所以布朗运动本身宽平稳吗？）
破题切入点：否，标准布朗运动 \(\operatorname{Var}(B(t))=t\)，不是常数。（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（自测：布朗运动有平稳独立增量，所以布朗运动本身宽平稳吗？）
否，标准布朗运动 \(\operatorname{Var}(B(t))=t\)，不是常数。平稳增量与过程本身的平稳性是两个不同条件。
修订版 · 重点核对
先看：本模块易错点与补充
最容易混淆的条件- 严平稳且二阶矩有限推出宽平稳；宽平稳不一般推出严平稳（高斯过程有额外特殊结论）。
- 连续时间理想白噪声的 \(\delta\) 相关函数属于广义随机过程表述，不是每个时刻有限方差的普通随机变量。
- 复过程相关与协方差通常需要共轭，请先核对课程采用的相关函数定义。
课件 15 ·
15-随机过程数字特征续(sjgc1.2-2).pdf
第一部分 · §1.2 数字特征收尾
0 · 本部分导读（与模块 4 的分工）
课件 15（21 页）的大部分内容——柯氏存在定理、四大数字特征、复随机过程、±2cos t 九区域联合分布例、多维过程互相关——模块 4 已按教材整理过，且经逐页比对与课件一致（如九区域例的数据 \(X_0=\pm2\)、\(p=\tfrac13,\tfrac23\) 与课件 p.8–11 完全相同）。本部分只收课件 15 的新增量：柯氏定理的"地基"视角表、和差化积口诀、复过程数字特征公式表、互不相关与正交之辨、例题 Ex.5/Ex.6。对照阅读：模块 4 第 1–4 节。
大白话 · 这一部分在干嘛
给 §1.2"数字特征"收三条尾巴：①算正弦波相关函数时的三角工具（和差化积）；②复过程（实部+虚部）的特征公式；③"两个过程之间"关系的两档刻画——互不相关（协方差为零）与正交（互相关为零）。第三条是判断题新宠：两者不是一回事。
1 · 柯氏存在定理的"地基"视角
定理 1.1.3（柯尔莫哥洛夫随机过程存在定理）已在模块 4 正式陈述：有限维分布族满足相容性与对称性 ⟹ 存在一个概率空间上的随机过程以它为有限维分布函数族。课件 15 开头用一整页强调了它"为什么是地基"，并给出 AI 应用表：
| 领域 | 随机过程 | 有限维分布 | 存在定理的作用 |
|---|---|---|---|
| 经典概率 | 布朗运动 | 多元正态分布 | 保证布朗运动存在 |
| 机器学习 | 高斯过程 | 多元正态分布 | 保证高斯过程存在 |
| 深度学习 | 扩散模型 | 马尔可夫链的联合分布 | 保证前向过程存在 |
| 人工智能 | 语言模型 | 自回归分解 | 保证文本生成过程存在 |
| 金融 | 几何布朗运动 | 对数正态分布 | 保证股价模型存在 |
| 通信 | 泊松过程 | 泊松分布 | 保证到达过程存在 |
大白话 · 定理在保证什么
直接描述一个过程要列出所有样本路径及各自概率——路径空间太大，几乎不可能。柯氏定理换角度：不描述路径，只描述"任意有限个时刻的联合分布"；只要这族分布彼此不矛盾（相容+对称），就保证"幕后存在一个过程"把它实现出来。简答题考法："为什么说存在定理是随机过程理论的地基？"——答"它保证我们随心指定的一族有限维分布背后真的有一个过程，后续一切研究才有对象"。
2 · 和差化积口诀 ★（正弦波计算工具）
四 条 公 式
\[\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\qquad
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\]
\[\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\qquad
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\]
课件口诀："正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦"。
为什么它重要
随机相位正弦波求 \(R(s,t)=E[\cos(\omega s+\Theta)\cos(\omega t+\Theta)]\) 时，积化和差后"和频项"在 \([0,2\pi]\) 上积分恒为零，只剩"差频项" \(\tfrac{a^2}{2}\cos\omega(t-s)\)——第 3 讲例 6 的核心一步。四个公式建议抄进一页纸。
3 · 复随机过程的数字特征
复过程 \(Z(t)=X(t)+jY(t)\)（\(X,Y\) 为实过程，本课程虚数单位记 \(j\)）。数字特征全部按复数规则定义：
| 名称 | 定义 |
|---|---|
| 均值函数 | \(m_Z(t)=E[Z(t)]=E[X(t)]+jE[Y(t)]\) |
| 方差函数 | \(D_Z(t)=E[\,|Z(t)-m_Z(t)|^2\,]=D_X(t)+D_Y(t)\)（注意：无交叉项，因 \(j^2=-1\) 一正一负相消） |
| 自相关函数 | \(R_Z(s,t)=E[Z(s)\overline{Z(t)}]\)（第二个取共轭！） |
| 自协方差函数 | \(C_Z(s,t)=E[\,(Z(s)-m_Z(s))\overline{(Z(t)-m_Z(t))}\,]=R_Z(s,t)-m_Z(s)\overline{m_Z(t)}\) |
易错点
复过程的自相关/协方差定义里第二个因子取共轭（保证 \(R_Z(t,t)=E|Z(t)|^2\ge0\)）。考试写 \(E[Z(s)Z(t)]\) 不加共轭直接丢分。对照模块 4 第 2 节的复过程定义与 \(R_Z=E[Z(s)\overline{Z(t)}]\) 记号——一致。
4 · 例题：±2cos t 过程（九区域画法核对）
过程：掷一枚不均匀"硬币"，\(P\{\omega_1\}=\tfrac13\)（样本函数 \(-2\cos t\)）、\(P\{\omega_2\}=\tfrac23\)（样本函数 \(2\cos t\)）。课件完整演示：\(X_0,X_{\pi/4}\) 各自的分布与联合分布函数的九区域画法、\(m(t)=\tfrac13(-2\cos t)+\tfrac23(2\cos t)=\tfrac23\cos t\)、并区分自相关与自协方差：设 \(A\in\{-2,2\}\)，\(X(t)=A\cos t\)，则 \(E[A]=\tfrac23\)、\(E[A^2]=4\)，故 \(R(s,t)=4\cos s\cos t\)，而 \(C(s,t)=R(s,t)-m(s)m(t)=\tfrac{32}{9}\cos s\cos t\)。两者不能混写。
核对结论 · 与模块 4 的关系
此例即模块 4 已收录的"二维离散过程求联合分布（九区域画法）"老师补充例题，数据、分布律、九区域划分经逐页比对完全一致，答题以模块 4 的完整解答为准，此处不重复。新增提醒一条：这个过程的两个样本函数"共享同一根余弦曲线的翻版"，所以不同时刻高度相关（不独立）——它不是独立过程，也不要和"随机相位正弦波"（连续无穷条样本函数）混淆。
5 · 互不相关 与 正交（两个不同概念）
两个过程 \(\{X(t)\}\)、\(\{Y(t)\}\) 之间有两档"没关系"：互协方差函数 \(C_{XY}(s,t)=E[(X(s)-m_X(s))(Y(t)-m_Y(t))]\) 与互相关函数 \(R_{XY}(s,t)=E[X(s)Y(t)]\)（复过程第二个因子取共轭）。
定 义（两档关系）
- 若对一切 \(s,t\in T\)：\(C_{XY}(s,t)\equiv0\)（等价地 \(E[X(s)Y(t)]=E[X(s)]E[Y(t)]\)），称两过程互不相关；
- 若对一切 \(s,t\in T\)：\(R_{XY}(s,t)\equiv0\)，称两过程正交。
三者关系链 ★
\[\text{相互独立}\ \Rightarrow\ \text{互不相关}\ \Rightarrow\ \text{？}\qquad \text{互不相关}+m_X\equiv0\ \Rightarrow\ \text{正交}\]
即：独立推出不相关（老结论，过程版照用）；不相关推不出正交——除非其中至少一个过程零均值（此时 \(R_{XY}=C_{XY}+m_Xm_Y=C_{XY}=0\)）。判断题三连："互不相关必正交"（错，除非零均值）、"正交必互不相关"（错）、"独立必不相关"（对）。
大白话 · 为什么要分两档
"互不相关"是去掉各自均值后没有线性关联（波动不联动）；"正交"是连乘积平均都是零（连"均值×均值"这份家底都没有）。信号处理里"正交"更彻底——两路信号叠加时功率直接相加（下一节 Ex.6 就用它）。
6 · 例题两道：积分算 R 与 信号+噪声
例 5 · 用积分求正弦过程的相关函数
\(X(t)=\cos(\omega_0 t+\Theta)\)，\(\Theta\sim U(0,2\pi)\)，求 \(R_X(s,t)\)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：\[R_X(s,t)=E[X(s)X(t)]=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(\omega_0 s+\theta)\cos(\omega_0 t+\theta)\（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
\[R_X(s,t)=E[X(s)X(t)]=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos(\omega_0 s+\theta)\cos(\omega_0 t+\theta)\,\mathrm d\theta\]
积化和差后，"和频项" \(\cos(\omega_0(s+t)+2\theta)\) 在整周期上积分为 0，剩下
\[R_X(s,t)=\tfrac12\cos\omega_0(t-s).\]
——与第 3 讲例 6（\(a=1\)）一致。"整周期平均消和频项"再确认一遍。
例 6 · 输出信号 = 信号 + 噪声
系统输入 \(\{X(t)\}\)，输出 \(Y(t)=X(t)+N(t)\)，其中 \(\{N(t)\}\) 是噪声过程，且 \(X\) 与 \(N\) 相互正交（\(R_{XN}(s,t)\equiv0\)）。求 \(m_Y(t)\) 与 \(R_Y(s,t)\)。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：\[m_Y(t)=E[X(t)+N(t)]=m_X(t)+m_N(t),\] \[R_Y(s,t)=E[(X(s)+N(s))(X(t)+N(t))]=R_X(s,t)+R_N(s,t)+R（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
\[m_Y(t)=E[X(t)+N(t)]=m_X(t)+m_N(t),\]
\[R_Y(s,t)=E[(X(s)+N(s))(X(t)+N(t))]=R_X(s,t)+R_N(s,t)+R_{XN}(s,t)+R_{NX}(s,t).\]
由正交性，交叉两项为 0：
\[R_Y(s,t)=R_X(s,t)+R_N(s,t).\]
结论：正交叠加时，功率（相关函数）直接相加——这就是通信里"信号+白噪声"模型好算的原因（白噪声 \(R_N=\sigma^2\delta\)，见课件 16 第 6 节）。若不满足正交，交叉项必须保留。
课件 16 ·
16-随机过程基本类型(sjgc1.3-1).pdf
第二部分 · §1.3 随机过程的基本类型
0 · 本部分导读 + 分类总表
§1.3 回答"随机过程有哪些大类"。两条分类线：①按参数集 T 与状态空间 E 的离散/连续分四象限（模块 4 已有，排队论课程同款）；②按概率结构分类——本部分主角：二阶矩过程（下面派生正态、宽平稳、正交增量）、严平稳过程、独立/独立增量/平稳独立增量过程、马尔可夫过程。
老师课堂划重点（第 7–8 次课，已落实到本模块）
- §4.5 不考（自学）——对应教材节，不必花时间（沿用此前通知）；
- 独立增量过程"性质 1.3.1"打星，复习重点（具体考核以教师通知为准）——即 \(m(t)=mt,\ D(t)=\sigma^2t,\ C(s,t)=\sigma^2\min(s,t)\)，课件 p.31 原文核对一致，见本部分第 7 节 ★★；
- "四个波"是考点：课件 p.4 一页四个坐标系画了四种随机参数正弦波信号的样本函数，p.9–10 给出对照表（是否二阶矩过程/宽平稳）——见第 2 节 ★★。注意：它与教材版"四波形"（正弦/随机电报/维纳/泊松阶梯，模块 4 已收录）是两组不同内容，两组都要会。
1 · 二阶矩过程（定义 1.3.1 + 定理 1.3.1）
定义 1.3.1 · 二阶矩过程
过程 \(\{X(t),t\in T\}\)（实或复）若对每个 \(t\in T\) 都有 \(E[|X(t)|^2]<\infty\)，称其为二阶矩随机过程。
定理 1.3.1 · 二阶矩过程的 R(s,t) 两条性质
设 \(\{X(t)\}\) 二阶矩过程且 \(m_X(t)\equiv0\)，则其相关函数 \(R(s,t)\)：
- 非负定性：对任意 \(t_1,\dots,t_n\in T\) 和任意普通函数 \(\theta(t)\)： \[\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\overline{\theta(t_j)}\,\theta(t_k)\,R(t_j,t_k)=E\Big[\Big|\sum_{k=1}^{n}\theta(t_k)X(t_k)\Big|^2\Big]\ge0;\]
- 埃密特（Hermitian）性：\(R(s,t)=\overline{R(t,s)}\)；实过程时退化为偶函数 \(R(s,t)=R(t,s)\)（实宽平稳时 \(R(-\tau)=R(\tau)\)）。
大白话 · 为什么要有"二阶矩过程"这个类
许瓦兹不等式保证：二阶矩有限的随机变量，乘积期望必存在 ⟹ 二阶矩过程的协方差函数与相关函数总是存在。后面的正态过程、宽平稳过程、正交增量过程全部是它的子类——先把"二阶矩存在"这一条兜住，后面所有数字特征才有意义。随机幅度有界（或二阶矩有限）的各种正弦波信号都是二阶矩过程。
2 · 四种正弦波信号对照表 ★★（老师划考点）
课件 p.4 一页四个坐标系，画出四种"随机参数正弦波"的样本函数波形（每种都是一族正弦曲线，随机参数不同导致"波形家族"不同）；p.9–10 给出判定对照表。老师明确说这一页是考点：给信号判"是不是二阶矩过程 / 是不是宽平稳"。
| 信号 | 表达式 | 随机参数 | 二阶矩过程？ | 宽平稳？ | 均值 / 自相关 |
|---|---|---|---|---|---|
| (a) 随机相位 | \(a\cos(\omega t+\Phi)\) | \(\Phi\sim U(0,2\pi)\) | ✓ | ✓ | \(m=0\)；\(R(\tau)=\dfrac{a^2}{2}\cos\omega\tau\) |
| (b) 随机幅度 | \(A\cos(\omega t+\varphi)\) | A 随机，\(\omega,\varphi\) 常数 | ✓（若 \(EA^2<\infty\)） | ✗ | \(m(t)=EA\cdot\cos(\omega t+\varphi)\) 依赖 t |
| (c) 随机频率 | \(a\cos(\Omega t+\varphi)\) | \(\Omega\) 随机 | ✓ | ✗ | \(m(t)=aE[\cos(\Omega t+\varphi)]\) 依赖 t |
| (d) 随机幅度+相位+频率 | \(A\cos(\Omega t+\Phi)\) | A, Ω, Φ 相互独立，\(\Phi\sim U(0,2\pi)\) | ✓（若 \(EA^2<\infty\)） | ✓ | \(m=0\)；\(R(\tau)=\dfrac{EA^2}{2}E[\cos\Omega\tau]\) |
大白话 · 判定逻辑只要两句话
① 均值是不是常数？(b)(c) 的随机参数直接出现在"不被平均掉"的位置，均值随 t 变 ⟹ 不平稳；(a)(d) 的随机相位 \(\Phi\) 在整周期上均匀分布，把均值"平均没了"（=0）⟹ 第一关过。② 自相关是否只依赖时间差 τ=t−s？(a)(d) 依赖（只剩差频项）⟹ 宽平稳。记忆形象："均匀分布的随机相位是平稳的护身符；幅度/频率随机但不配均匀相位，就会把 t 泄漏进均值"。
易错点
① (b) 的"随机幅度"：二阶矩过程 ✓ 但不宽平稳——"是二阶矩"与"宽平稳"是两关，别混；② (d) 的 \(R(\tau)\) 里还有一个 \(E[\cos\Omega\tau]\)（对随机频率取期望），不能直接写 \(\frac{EA^2}{2}\cos\omega\tau\)；③ (a) 的 \(R(\tau)=\frac{a^2}{2}\cos\omega\tau\) 里 \(a\) 是常数，系数是 \(a^2/2\) 不是 \(a\)。
与教材版"四波形"的关系（两组都要会）
教材 §1.3 的"四个波"= 正弦波族 / ±1 随机电报方波 / 维纳连续折线 / 泊松阶梯（按"长相"分，考"参数集与状态空间连续离散"），已收录在模块 4；课件这页的"四个波"= 四种随机参数正弦波（按"随机参数位置"分，考"二阶矩/宽平稳判定"），即本节。两组波形都见过、两套判法都练过，这个考点就闭环了。
3 · 宽平稳过程 ★
定 义 · 宽（广义/弱）平稳过程
复值二阶矩过程 \(\{X(t)\}\) 满足：
- 均值函数为常数：\(m(t)=E[X(t)]=m\)；
- 协方差函数只依赖时间差：\(C(s,t)=C(t-s)\)，\(s,t\in T\)。
例（课件 Ex.2，37 页）· 随机振幅电信号
\(X(t)=\xi\cos\omega t+\eta\sin\omega t\)，其中 \(\xi,\eta\) 零均值、不相关、同有方差 \(\sigma^2\)。求 \(R(s,t)\) 并判平稳性。
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 解答）
破题切入点：\[R(s,t)=E[(\xi\cos\omega s+\eta\sin\omega s)(\xi\cos\omega t+\eta\sin\omega t)]\] \[=\sigma^2(（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（解答）
\[R(s,t)=E[(\xi\cos\omega s+\eta\sin\omega s)(\xi\cos\omega t+\eta\sin\omega t)]\]
\[=\sigma^2(\cos\omega s\cos\omega t+\sin\omega s\sin\omega t)=\sigma^2\cos\omega(t-s).\]
只依赖 \(\tau=t-s\)；又 \(m(t)=0\) 常数 ⟹ 宽平稳。方差函数 \(D(t)=R(t,t)=\sigma^2\)（常数）——"思考：方差函数呢"的答案。
易错点
宽平稳的定义是"均值常数 + 协方差只依赖差"两条——只验证"均值方差都不变"不充分（第 5 节有反例）。另外教材/课件有的版本用"自相关函数只依赖差"作第二条（当均值恒 0 时两者等价），答题按课件口径写协方差版本最稳。
4 · 正交增量过程
定 义
复值二阶矩过程 \(\{X(t)\}\) 若对任意 \(t_1<t_2\le t_3<t_4\in T\) 有
\[E[(X(t_4)-X(t_3))\,\overline{(X(t_2)-X(t_1))}]=0,\]
称其为正交增量过程。
大白话 · 它和独立增量的关系
"不重叠时间段上的增量乘积平均为零"——比独立增量弱（独立 ⟹ 不相关 ⟹ 零均值时正交），但比"什么都没有"强。它的舞台在第四章：平稳过程的谱分解里，过程被表示成"对一族正交增量过程"的积分（随机傅里叶）——现在混个脸熟即可。
5 · 严平稳过程 与 严/宽平稳之辨 ★
定 义 · 严（狭义/强）平稳过程
对任意 \(n>1\)、\(t_1,\dots,t_n\in T\) 和实数 \(\tau\)（平移后仍落在 T），\((X(t_1),\dots,X(t_n))\) 与 \((X(t_1+\tau),\dots,X(t_n+\tau))\) 同分布：
\[F(x_1,\dots,x_n;t_1,\dots,t_n)=F(x_1,\dots,x_n;t_1+\tau,\dots,t_n+\tau).\]
即任意有限维分布对时间平移不变；不要求矩存在。
三个经典严平稳例子
- i.i.d. 序列：联合分布 = 各边际乘积，平移后分布相同（抛均匀硬币序列）✓；
- 随机相位正弦波：相位完全随机，从任何时刻开始观察统计特性一样 ✓；
- 高斯白噪声：零均值、不同时刻独立、方差相同，有限维都是"对角协方差的多元正态"，平移不变 ✓。
反例 · iid 柯西序列：严平稳但连均值都没有
\(X_1,X_2,\dots\) 独立同分布 ~ Cauchy(0,1)，密度 \(\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\)，分布函数 \(F(x)=\dfrac1\pi\arctan x+\dfrac12\)。严平稳 ✓（同分布 iid，平移不变）。但 \(E|X|=\infty\)，均值方差都不存在 ⟹ 不是二阶矩过程 ⟹ 谈不上宽平稳。用途：证明"严平稳 ⇏ 宽平稳"以及"宽平稳的前提是矩存在"。严平稳 vs 宽平稳 对照表 ★
| 严平稳 | 宽平稳 | |
|---|---|---|
| 要求 | 任意有限维分布平移不变 | 均值常数 + 协方差只依赖时间差 |
| 强度 | 强 | 弱 |
| 对矩的要求 | 不要求 | 要求二阶矩存在 |
| 关系 | 严平稳 + 二阶矩有限 ⟹ 宽平稳；宽平稳 ⇏ 严平稳；高斯过程：宽平稳 ⟺ 严平稳（正态分布由均值+协方差完全决定） | |
| 例子 | iid 序列、柯西序列、随机相位正弦波 | 白噪声、随机相位正弦波、(d) 号四随机参数正弦波 |
反例澄清 · "均值方差不变"不足以判定平稳 ★
取独立 \(U,V\sim N(0,1)\)，定义 \(Y(t)=U\cos(t^2)+V\sin(t^2)\)。则 \(E[Y(t)]=0\)、\(D[Y(t)]=1\) 都不随 t 变，甚至每个时刻都服从同一标准正态；但
\[R_Y(s,t)=\cos(t^2-s^2)=\cos\big((t-s)(t+s)\big)\]
依赖 t+s，不只依赖时间差 ⟹ 不宽平稳。考试结论：判断宽平稳必须三条全查（均值常数、方差常数/有界、协方差只依赖差），只看前两条是经典陷阱。（课件 p.18–20 整段就在讲这个：图上画出恒定的 \(m\pm\sigma\) 参考线，什么都判定不了。）
6 · 白噪声（离散 / 连续 / 高斯）
定 义
- 离散白噪声序列 \(\{X_n\}\)：\(E[X_n]=0,\ D[X_n]=\sigma^2\)，且 \[R(m,n)=\begin{cases}\sigma^2,&m=n\\0,&m\ne n\end{cases}\] ——即两两不相关的零均值同方差序列；
- 连续参数白噪声 \(\{X(t)\}\)：\(E[X(t)]=0\)，\(R(s,t)=\sigma^2\delta(t-s)\)（δ 为单位脉冲）；
- 若进一步每个 \(X_n\)（或 \(X(t)\)）服从正态分布，称高斯白噪声。对正态情形"不相关 ⟺ 独立"，故高斯白噪声是独立时间序列/过程。
大白话 · 白噪声与 AR(p)
"白噪声"= 频谱平得像白光、各频率成分等强、彼此毫无记忆的理想随机干扰模型（电流波动、通信设备抖动、电子发射波动）。工程里的线性模型 AR(p)：\(X_t=\phi_1X_{t-1}+\cdots+\phi_pX_{t-p}+\varepsilon_t\)，理想要求残差序列 \(\varepsilon_t\) 是（高斯）白噪声——"模型把能解释的都解释了，剩下的是纯随机"。注意：白噪声天然不是宽平稳的违反者——零均值+协方差只依赖差（=0），它其实是宽平稳的；连续参数白噪声是个广义过程，本课程记结论即可。
7 · 独立过程 / 独立增量 / 平稳增量 与 性质 1.3.1 ★★
定义 1.3.2 / 1.3.3 / 1.3.4
- 独立过程（1.3.2）：任意 n 个时刻的随机变量相互独立；有限维分布 = 一维分布连乘。
- 独立增量过程（1.3.3，或称可加过程）：任意互不重叠时间区间上的增量 \(X(t_1)-X(t_0),\ X(t_2)-X(t_1),\dots\) 相互独立。直观：不相重叠的时间段上，状态变化互不影响（如不同时段传输的数据个数）。不失一般性设 \(X(0)=0\)。
- 平稳增量过程（1.3.4）：增量 \(X(s)-X(t)\) 与平移后的 \(X(s+h)-X(t+h)\) 同分布（增量分布只与区间长度有关、与起点无关，称增量时齐/齐次）。
- 既是独立增量又是平稳增量 ⟹ 平稳独立增量过程。
课件 Ex.2 · 独立序列前缀和 ⟹ （平稳）独立增量
\(\{X_n,n\ge1\}\) 独立，令 \(Y_n=\sum_{k=0}^{n}X_k\)（\(Y_0=X_0\)）。则增量 \(Y_n-Y_m=X_{m+1}+\cdots+X_n\) 只含"新的" \(X\)，彼此不含公共项 ⟹ 相互独立 ⟹ \(\{Y_n\}\) 独立增量；若 \(X_n\) 还同分布，增量同分布 ⟹ 平稳独立增量。"如何构造独立增量过程"的标准答案：独立序列做前缀和。性质 1.3.1 ★★（老师打星，复习重点（具体考核以教师通知为准）；课件 p.30–31）
设 \(\{X(t),t\ge0\}\) 是平稳独立增量过程，\(X(0)=0\)（或 \(P\{X(0)=0\}=1\)），则：
\[m(t)=mt\ (m=m(1)\text{ 为常数})；\qquad D(t)=\sigma^2t\ (\sigma^2=D(1));\qquad C(s,t)=\sigma^2\min(s,t).\]
证明主线（三步，与排队论课程同款）：① 增量拆分 \(X(t+s)-X(0)=[X(t+s)-X(s)]+[X(s)-X(0)]\)；② 平稳性 ⟹ 与 \(X(t),X(s)\) 的增量同分布、独立性 ⟹ 期望方差可加，得函数方程 \(y(t+s)=y(t)+y(s)\) ⟹ 线性 \(y(t)=ct\)（令 t=1 定常数）；③ C 的证明再"插入 \(\pm X(s)\)"用 \(X(t)-X(s)\perp X(s)\) 化简得 \(\sigma^2\min(s,t)\)。
核对与考法
课件原文与模块 4 已收录版本逐字核对一致（m=mt、D=σ²t、C=σ²min(s,t)，常数记号 m=m(1)、σ²=D(1)）——请放心按模块 4 的完整证明背。考法：①直接考证明（三步主线）；②给出泊松/维纳/二项计数，套性质秒写 m、D、C（泊松：a=σ²=λ；维纳：a=0、σ²=σ²）；③判断题"平稳独立增量过程的均值必为常数"（错！是 t 的线性函数 mt，除非 m=0）。8 · 马尔可夫过程（预告）与 全章收束
课件 §1.3 最后一条类型是马尔可夫过程：已知"现在"的条件下，"过去"对推断"将来"不再起作用（无后效性）。课件注明"第五章重点介绍"——本课程后续讲次与《随机过程与排队论》笔记的模块 3–4 已有完整体系（马氏性、C-K、状态分类、Q 矩阵、πQ=0），届时对照即可。
§1.3 全章一张网（收束记忆）
二阶矩过程（R、C 必存在）⊃ 正态过程（二阶矩定全貌）、宽平稳过程（均值常数+C 依赖差）、正交增量过程（谱分解用）；另一支线 严平稳（有限维分布平移不变，可与二阶矩无关）；再按增量结构分 独立 / 独立增量 / 平稳独立增量（性质 1.3.1 ★）；末支 马尔可夫过程。判定题先问"二阶矩有没有"，再问"均值常数吗""C 依赖差吗""增量独立吗""分布平移不变吗"——四问走完，类型自然浮出。
自 测（本模块）
- 柯氏存在定理保证什么？为什么说它是"地基"？
- 复过程 \(R_Z(s,t)\) 的定义里哪一项取共轭？\(D_Z\) 有没有交叉项？
- "互不相关"与"正交"的定义分别是什么？什么条件下互不相关 ⟹ 正交？
- 四种正弦波信号中，哪些宽平稳、哪些不宽平稳？判定的两句话是什么？
- 严平稳与宽平稳的相互推出关系？高斯过程的特殊之处？柯西序列说明了什么？
- "均值方差都不变"能判定宽平稳吗？写出反例。
- 性质 1.3.1 三条结论 + 证明主线？哪些著名过程是平稳独立增量的？
💡 破题关键与第一步提示（遮答案自测用 · 答案要点）
破题切入点：相容+对称的有限维分布族背后必存在一个过程实现它；（👉 先合上下方完整推导，自己动手算完关键步再核对踩分点！）
📝 完整规范推导与评分踩分点（答案要点）
- 相容+对称的有限维分布族背后必存在一个过程实现它；没有它，"指定分布族研究过程"全是空中楼阁。
- 第二因子 \(\overline{Z(t)}\) 取共轭；\(D_Z=D_X+D_Y\) 无交叉项。
- \(C_{XY}\equiv0\) / \(R_{XY}\equiv0\)；\(m_X\equiv0\)（或 \(m_Y\equiv0\)）时互不相关 ⟹ 正交。
- (a)(d) 宽平稳，(b)(c) 不宽平稳；两句：均值被均匀相位平均成 0 了吗？C/R 只依赖 τ 吗？
- 严+二阶矩有限 ⟹ 宽；宽 ⇏ 严；高斯过程宽 ⟺ 严；柯西序列严平稳但无矩、非二阶矩。
- 不能；\(Y(t)=U\cos t^2+V\sin t^2\)，\(R=\cos(t^2-s^2)\) 依赖 t+s。
- \(m=mt,D=\sigma^2t,C=\sigma^2\min(s,t)\)；拆增量→独立可加→函数方程⟹线性；泊松、维纳、二项计数。
课件 17 · 第 9 次课 (10.10) ·
sjgc1.3-2.pdf (16 页)
第三部分 · §1.3 随机过程的基本类型（续：性质 1.3.2 与增量过程辨析）
0 · 科学故事导读：随机过程如何提取大脑与宇宙深处的微弱信号
第 9 次课开篇（sjgc1.3-2.pdf p.1–2）通过两个前沿科学案例展示了随机过程分类与信号提取的威力：
案例 1 · 大脑里的“光控开关”（光遗传学 Optogenetics）
利用光敏通道蛋白精准控制特定神经元的电脉冲发放。神经元的脉冲发放序列（Spike Train）在时间轴上表现为点过程 / 泊松型计数过程，而膜电位受突触背景噪声驱动则表现为连续时间二阶矩/扩散过程。
案例 2 · 南极冰层下的“宇宙幽灵捕手”（IceCube 中微子天文台）
在南极一立方公里深冰中布设数千个光电倍增管，捕捉高能中微子撞击冰核产生的切伦科夫蓝光。绝大部分底噪是服从平稳独立增量 / 白噪声特性的大气缪子与热噪声，唯有利用随机过程的协方差结构与增量分布特性，才能从海量背景噪声中锁定真正来自宇宙深处的极微弱信号。
1 · 本科数学补齐：阿贝尔分部求和（裂项重排）与柯西函数方程
本科遗忘急救 · 读懂性质 1.3.1 与 1.3.2 的两把钥匙
钥匙 ①：连续柯西函数方程 \(y(t+s)=y(t)+y(s)\) 为什么必然是线性函数 \(y(t)=ct\)？
在性质 1.3.1 证明平稳独立增量过程的均值 \(m(t)=mt\) 和方差 \(D(t)=\sigma^2 t\) 时，核心一步是由 \(y(t+s)=y(t)+y(s)\)（\(t,s\ge 0\)）推出 \(y(t)=y(1)t\)。如果本科高数忘了怎么证，记住以下 4 步直觉：
- 初值：令 \(s=0\)，得 \(y(t)=y(t)+y(0) \implies y(0)=0\)。
- 正整数倍：由数学归纳法，\(y(nt)=y(t+\cdots+t)=ny(t)\)。令 \(t=1\) 得对任意正整数 \(n\)，\(y(n)=n\cdot y(1)\)。
- 有理数倍：令 \(t=\frac{p}{q}\)（\(p,q\in\mathbb{N}^+\)），因为 \(q\cdot y\bigl(\frac{p}{q}\bigr)=y\bigl(q\cdot\frac{p}{q}\bigr)=y(p)=p\cdot y(1)\)，两边除以 \(q\) 即得 \(y\bigl(\frac{p}{q}\bigr)=\frac{p}{q}y(1)\)。
- 实数连续延拓：在工程与物理随机过程中，均值函数 \(m(t)\) 与方差函数 \(D(t)\ge 0\) 在有限区间上连续，由有理数在 \(\mathbb{R}\) 中稠密，取极限即得对任意实数 \(t\ge 0\)，\(y(t)=y(1)\cdot t\)！
钥匙 ②：把“状态线性组合”改写为“增量线性组合”（阿贝尔分部求和 / 望远镜裂项）
在性质 1.3.2 中，我们要计算 \(\sum_{k=1}^n \theta_k X(t_k)\) 的特征函数。直接算没法用独立性，因为 \(X(t_1), X(t_2), \dots, X(t_n)\) 彼此不独立！但它们的相邻增量 \(X(t_k)-X(t_{k-1})\) 是相互独立的。先看 \(n=3\) 的竖式累加：
\[\theta_1 X(t_1) + \theta_2 X(t_2) + \theta_3 X(t_3) = (\theta_1+\theta_2+\theta_3)X(t_1) + (\theta_2+\theta_3)\bigl[X(t_2)-X(t_1)\bigr] + \theta_3\bigl[X(t_3)-X(t_2)\bigr].\]推广到任意 \(n\)，就是课件第 13 页最关键的恒等变形：
\[\sum_{k=1}^n \theta_k X(t_k) = \left(\sum_{j=1}^n \theta_j\right)X(t_1) + \sum_{k=2}^n \left(\sum_{j=k}^n \theta_j\right)\bigl[X(t_k)-X(t_{k-1})\bigr].\]2 · 性质 1.3.2 ★★：独立增量过程的有限维分布确定定理
性质 1.3.2 ★★（课件 17 p.12–14 · 第 9 次课新增核心定理）
设 \(\{X_t, t\in T\}\) 是独立增量过程，则它的任意有限维分布由其一维分布和增量分布唯一确定；具体地，对任意 \(t_1 < t_2 < \cdots < t_n \in T\)，随机向量 \((X(t_1), X(t_2), \dots, X(t_n))\) 的联合特征函数为：
\[\varphi_{t_1,t_2,\dots,t_n}(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n) = \varphi_{X(t_1)}\!\left(\sum_{j=1}^n \theta_j\right)\prod_{k=2}^n \varphi_{X(t_k)-X(t_{k-1})}\!\left(\sum_{j=k}^n \theta_j\right).\]完整规范证明（按课件 17 p.13–14 逐步推导，期末证明题标准模板）
证明：任取 \(t_1 < t_2 < \cdots < t_n \in T\)，考虑联合特征函数 \(\varphi_{t_1,\dots,t_n}(\theta_1,\dots,\theta_n) = E\bigl[\exp\bigl(j\sum_{k=1}^n \theta_k X(t_k)\bigr)\bigr]\)。
- 裂项重排：利用恒等式 \(X(t_k) = X(t_1) + \sum_{m=2}^k [X(t_m)-X(t_{m-1})]\)，合并同类增量得： \[\sum_{k=1}^n \theta_k X(t_k) = (\theta_1+\cdots+\theta_n)X(t_1) + \sum_{k=2}^n (\theta_k+\cdots+\theta_n)\bigl[X(t_k)-X(t_{k-1})\bigr].\]
- 利用独立增量性拆解期望：因 \(X(t_1), X(t_2)-X(t_1), \dots, X(t_n)-X(t_{n-1})\) 相互独立，故： \[\varphi_{t_1,\dots,t_n}(\theta_1,\dots,\theta_n) = E\bigl[e^{j(\theta_1+\cdots+\theta_n)X(t_1)}\bigr]\prod_{k=2}^n E\bigl[e^{j(\theta_k+\cdots+\theta_n)(X(t_k)-X(t_{k-1}))}\bigr] = \varphi_{X(t_1)}(\theta_1+\cdots+\theta_n)\prod_{k=2}^n \varphi_{X(t_k)-X(t_{k-1})}(\theta_k+\cdots+\theta_n).\]
- 唯一性定理收尾：由多元特征函数唯一性定理，有限维分布由一维分布 \(\varphi_{X(t_1)}\) 与各增量分布 \(\varphi_{X(t_k)-X(t_{k-1})}\) 唯一确定。∎
课件 17 p.12 & p.15 · 两条黄金推论（注 1 与 注 2 ★做题秒杀武器）
- 注 1（零初值独立增量过程）：若 \(\{X_t, a \le t \le b\}\) 是独立增量过程且 \(P\{X_a = 0\} = 1\)，则 \(X(t_1) = X(t_1) - X(a)\)，其任意有限维分布完全由增量分布唯一确定！
- 注 2（零初值平稳独立增量过程）：若 \(\{X_t, a \le t \le b\}\) 是平稳独立增量过程且 \(P\{X_a = 0\} = 1\)，则 \(X_t - X_s \stackrel{d}{=} X_{t-s+a} - X_a = X_{t-s+a}\)（当 \(a=0\) 时即 \(X_t - X_s \stackrel{d}{=} X_{t-s}\)），其全部有限维分布仅由一维分布族唯一确定！
3 · 不相关增量 vs 正交增量 & 两大课堂思考题辨析
| 过程名称 | 严格数学定义（对任意 \(t_1 < t_2 \le t_3 < t_4 \in T\)） | 包含关系与核心辨析 |
|---|---|---|
| 独立增量过程 | \(X(t_2)-X(t_1)\) 与 \(X(t_4)-X(t_3)\) 相互独立 | 若二阶矩存在，独立增量 \(\implies\) 不相关增量；反之一般不成立（除非是正态过程）。 |
| 不相关增量过程 | \(\operatorname{Cov}\bigl(X(t_2)-X(t_1), X(t_4)-X(t_3)\bigr) = 0\) | 只要求不重叠区间上的增量协方差为 0，增量均值可以非零。 |
| 正交增量过程（定义 2.4.5） | \(E\bigl[(X(t_2)-X(t_1))\overline{(X(t_4)-X(t_3))}\bigr] = 0\) | 当增量均值 \(E[X(t_2)-X(t_1)] \equiv 0\)（即 \(m(t)\) 为常数）时，不相关增量 \(\iff\) 正交增量！ |
课件 17 p.16 · 课堂思考题 1 & 2 ★★（期末判断/简答高频陷阱）
- 思考题 1：白噪声是否是独立过程？
答：不一定！广义（宽）白噪声只要求均值恒为 0 且不同时刻两两不相关（\(C(s,t)=0, s\neq t\)），不相关不能推出独立（反例：\(\Theta\sim U(-\pi,\pi), X_n=\cos(n\Theta)\)）。只有高斯白噪声（正态+不相关）才是独立过程。 - 思考题 2：独立过程是否是独立增量过程？反之呢？
答：双向均不成立！
① 若 \(\{X(t)\}\) 是非常数独立过程（\(D(X(t))=\sigma^2(t)>0\)），取 \(t_1 < t_2 < t_3\)，相邻增量共享中间项 \(X(t_2)\)： \[\operatorname{Cov}\bigl(X(t_2)-X(t_1), X(t_3)-X(t_2)\bigr) = -\operatorname{Cov}(X(t_2), X(t_2)) = -\sigma^2(t_2) < 0 \neq 0!\] 相邻增量呈负相关，绝非独立增量过程！
② 反之，平稳独立增量过程（如维纳过程）满足 \(C(s,t)=\sigma^2\min(s,t)\neq0\;(0<s<t)\)，故其不同时刻状态并不独立。
第 9 次课配套作业全解 ·
第一章书上作业.txt + 第一章的补充作业（附答案）.pdf + 习题一.pdf
第四部分 · 第 1 章课后作业与补充作业全套精讲（含老师红笔批改避坑）
1 · 第一章补充作业全套解答（例 1–4 + 题 5–8 + 补充题 5）
补充作业 例 1–例 4（全期望公式、Wald 等式、矿工逃生、配对指示器法）
- 例 1（混合泊松分布期望）：等可能（各 \(\frac{1}{2}\)）读数学书（每页错误 \(X\sim\text{Pois}(2)\)）或历史书（\(X\sim\text{Pois}(5)\)），由全期望公式 \(E[X] = \frac{1}{2}\times 2 + \frac{1}{2}\times 5 = \frac{7}{2} = 3.5\)。
- 例 2（随机和 Wald 等式）：每周事故数 \(E[N]=4\)，每次受伤人数独立同分布 \(E[X_i]=2\) 且 \(N\perp X_i\)，则每周总受伤人数期望 \(E\bigl[\sum_{i=1}^N X_i\bigr] = E[N]E[X_1] = 4\times 2 = 8\)。
- 例 3（矿工三扇门逃生 ★复习重点（具体考核以教师通知为准））：门 1 花 2h 脱险，门 2 花 3h 回原点，门 3 花 5h 回原点，每次等可能 \(\frac{1}{3}\) 选门。由全期望公式列方程： \[E[T] = \frac{1}{3}\times 2 + \frac{1}{3}(3 + E[T]) + \frac{1}{3}(5 + E[T]) = \frac{10}{3} + \frac{2}{3}E[T] \implies E[T] = 10\text{ 小时}.\]
- 例 4（N 人拿帽子配对）：设指示变量 \(I_i = \mathbf{1}_{\{\text{第 }i\text{ 人拿到自己帽子}\}}\)，则 \(P\{I_i=1\} = \frac{1}{N}\)，拿到自己帽子的总人数 \(X=\sum_{i=1}^N I_i\) 的期望为 \(E[X] = \sum_{i=1}^N E[I_i] = N\times\frac{1}{N} = 1\)。
补充作业 题 5–8 & 补充题 5（严/宽平稳证明与平稳独立增量三维分布律）
- 题 5–8：① 严平稳令 \(\varepsilon=-t_1\) 即得 \(F(x_1;t_1)=F(x_1;0)\) 与 \(F(x_1,x_2;t_1,t_2)=F(x_1,x_2;0,t_2-t_1)\)；② 若二阶矩存在则 \(m(t)=m, D(t)=\sigma^2, C(s,t)=C(t-s)\)，故严平稳+二阶矩有限 \(\implies\) 宽平稳；③ 正态过程宽平稳 \(\iff\) 严平稳；④ 均值方差均为常数未必平稳（反例 \(Y(t)=U\cos t^2+V\sin t^2\)，\(R_Y(s,t)=\sigma^2\cos(t^2-s^2)\)）。
- 补充题 5 ★：设 \(\{X(t), t\in[a,b]\}\) 为平稳独立增量过程，\(P\{X(a)=0\}=1\)，一维分布律为 \(p(x;t)\)，则对 \(a < t_1 < t_2 < t_3 \le b\)，三维分布律为： \[p(x_1,x_2,x_3; t_1,t_2,t_3) = P\{X(t_1)=x_1, X(t_2)-X(t_1)=x_2-x_1, X(t_3)-X(t_2)=x_3-x_2\} = p(x_1; t_1)\,p(x_2-x_1; t_2-t_1)\,p(x_3-x_2; t_3-t_2).\]
2 · 教材《习题一》课后作业全解（书后 2, 4, 6, 7, 9, 12, 13 & 老师红笔批改避坑）
书后习题 2 ★：\(X(t)=A\cos t\)（\(A\in\{1,2,3\}\) 等概率 \(\frac{1}{3}\)）
- (1) 一维分布函数：\(X(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}A\) 在 \(\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\) 处各跳 \(\frac{1}{3}\)；\(X(\pi/2)\equiv 0\) 的分布函数是阶跃函数 \(F_{\pi/2}(x)=\mathbf{1}_{\{x\ge 0\}}\)（⚠ 批改避坑：切勿写成 \(F(x)=0\)！）。
- (2) 二维分布函数：\((X(0),X(\pi/3))\) 在 \((1,\frac{1}{2}), (2,1), (3,\frac{3}{2})\) 三点各取 \(\frac{1}{3}\)，按四块区域写出分段值 \(0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1\)。
- (3) 数字特征（⚠ 红笔纠错：算 \(R_X\) 时权重是 \(A^2=1,4,9\)！）：\(E[A]=2, E[A^2]=\frac{14}{3}, D(A)=\frac{2}{3}\)，故 \(m_X(t)=2\cos t\)，\(R_X(s,t)=\frac{14}{3}\cos s\cos t\)，\(C_X(s,t)=\frac{2}{3}\cos s\cos t\)。
书后习题 4 & 习题 6 ★★：连续随机变量函数的密度求法（老师红笔重点批注）
- 习题 4（\(X(t)=\xi\cos\omega t, \xi\sim U(0,1)\)）：⚠ 历史习题材料的批注提示（请以原件核对）：“\(\int_0^1 s\cos\omega t\,\mathrm{d}s\) 是求均值方法，不是求密度 \(f_t(x)\)！” 固定 \(t\) 时 \(X_t\) 是 \(\xi\) 的线性缩放：当 \(t=\frac{\pi}{4\omega}\) 时 \(X_t\sim U(0,\frac{\sqrt{2}}{2}), f_t(x)=\sqrt{2}\)；当 \(t=\frac{\pi}{2\omega}\) 时 \(X_t\equiv 0\)（退化分布）；当 \(t=\frac{3\pi}{4\omega}\) 时 \(X_t\sim U(-\frac{\sqrt{2}}{2},0), f_t(x)=\sqrt{2}\)；当 \(t=\frac{\pi}{\omega}\) 时 \(X_t\sim U(-1,0), f_t(x)=1\)。数字特征：\(m_X(t)=\frac{1}{2}\cos\omega t, R_X(s,t)=\frac{1}{3}\cos\omega s\cos\omega t, C_X(s,t)=\frac{1}{12}\cos\omega s\cos\omega t\)。
- 习题 6（\(X(t)=e^{-\xi t}, \xi\sim U(0,1), t>0\)）：⚠ 历史习题材料的批注提示（请以原件核对）：“先求分布函数！” 对 \(e^{-t} \le x < 1\)，\(F_t(x)=P\{e^{-\xi t}\le x\}=P\{\xi\ge -\frac{\ln x}{t}\}=1+\frac{\ln x}{t}\)，求导得 \(f_t(x)=\dfrac{1}{tx}\quad (e^{-t}<x<1)\)；\(m_X(t)=\dfrac{1-e^{-t}}{t}\)，\(R_X(s,t)=\dfrac{1-e^{-(s+t)}}{s+t}\)（当 \(s+t=0\) 时按连续延拓取 1）。
书后习题 7、9、12、13 ★：独立部分和 \(Y_n=\sum_{k=1}^n X_k\) 与周期脉冲过程
- 习题 7（对称随机游走 \(P\{X_k=\pm 1\}=\frac{1}{2}\)）：\(Y_2\in\{-2,0,2\}\) 概率为 \(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\)；\(E[Y_n]=0\)；不妨设 \(m>n\)，拆 \(Y_m = Y_n + \sum_{k=n+1}^m X_k\) 得 \(R_Y(m,n) = E[Y_n^2] = n\)，故 \(R_Y(m,n) = \min(m,n)\)。
- 习题 9（高斯随机游走 \(X_k\sim N(0,\sigma^2)\)）：\(Y_n\sim N(0,n\sigma^2)\)；当 \(m>n\) 时 \((Y_m,Y_n)^T\) 的协方差矩阵为 \(C=\sigma^2\begin{pmatrix}m & n\\ n & n\end{pmatrix}\)，\(|C|=n(m-n)\sigma^4\)，二维正态密度为： \[f_{m,n}(y_m,y_n) = \frac{1}{2\pi\sigma^2\sqrt{n(m-n)}}\exp\left\{-\frac{n y_m^2 - 2n y_m y_n + m y_n^2}{2n(m-n)\sigma^2}\right\}.\]
- 习题 10–13：增量 \(Y_t=X_{t+a}-X_t\) 的自相关为 \(R_Y(s,t)=R_X(s+a,t+a)-R_X(s+a,t)-R_X(s,t+a)+R_X(s,t)\)；独立随机振幅与均匀相位 \(X(t)=A\cos(\beta t+\theta)\)（\(A\sim U(0,1),\theta\sim U(0,2\pi)\)）有 \(m_X(t)=0, R_X(s,t)=\frac{1}{6}\cos\beta(t-s)\)；随机起点周期矩形波在 \([0,T]\) 内一维分布为 \(P\{Y_t=A\}=\frac{T-t}{T}, P\{Y_t=0\}=\frac{t}{T}\)。
🎯 考场题型信号词 → 破题套路速查表 期末冲刺必背 · 信号词秒配定理与防扣分清单
考场上读题 10 秒内锁定“题干信号词”，直接调用中间列的定理模板作答，并在交卷前对照右列逐条排查高频扣分点。
| 🔍 题干信号词 / 设问特征 | ⚡ 必用定理 / 核心递推式 / 标准破题套路 | 🚨 老师批改高频扣分点 |
|---|---|---|
| 验证过程 \(\{X(t)\}\) 是否为宽平稳过程（广义平稳） | 三步铁律：① 二阶矩有限 \(E|X(t)|^2<\infty\)；② 均值 \(E[X(t)]=m\) 为常数；③ \(R_X(t_1,t_2)=R_X(t_1-t_2)\) 仅依赖时间差 \(\tau\) | ⚠ 避坑：只算了均值常数和自相关仅依赖 \(\tau\)，漏写第一步“二阶矩存在/有限”（老师阅卷严格踩分点） |
| 正弦波过程 \(A\cos(\omega t+\Theta)\) 的平稳性判定与三角积分计算 | 利用和差化积口诀 \(\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]\)，看含 \(t_1+t_2\) 项的期望是否消去 | ⚠ 避坑：混淆四种正弦波：仅随机振幅（\(E[A]=0\)）不是宽平稳；随机相位 \(\Theta\sim U(0,2\pi)\) 才是宽平稳 |
| 严平稳 vs 宽平稳、正交增量 vs 不相关增量的关系辨析与反例 | 一般无包含关系！唯有：① 二阶矩存在的严平稳 \(\Rightarrow\) 宽平稳；② 正态过程下宽平稳 \(\iff\) 严平稳；零均值下不相关增量 \(\iff\) 正交增量 | ⚠ 避坑：误以为“严平稳一定宽平稳”（漏掉柯西白噪声等无二阶矩反例），或误以为正交就是不相关 |
| 独立增量过程求多时刻联合期望 \(E[X(t_1)X(t_2)\dots]\) 或自相关函数 | 永远“拆成不重叠增量和”：设 \(t_1| ⚠ 避坑：不拆增量直接硬套独立乘积（\(X(t_1)\) 与 \(X(t_2)\) 本身并不独立，是增量独立！）；最终结果未合并写成 \(\min(t_1,t_2)\) |
|
| 证明平稳独立增量过程均值呈线性 \(m(t)=m_0+ct\)（性质 1.3.1） | 令 \(\tilde{m}(t)=m(t)-m(0)\)，由平稳增量性导出柯西方程 \(\tilde{m}(t+s)=\tilde{m}(t)+\tilde{m}(s)\) | ⚠ 避坑：直接对 \(m(t)\) 套柯西方程而未先减去初值 \(m(0)\)（当 \(X(0)\ne 0\) 时 \(m(t+s)\ne m(t)+m(s)\)） |