2026-10.17 随机过程及应用 · 第一章作业与补充作业全套详解

本题中的随机性完全由单个离散随机变量 $A$ 产生。固定时间 $t$ 后，$X(t)$ 成为 $A$ 的线性尺度缩放。求分布函数时，务必遵从本课程 $F(x)=P\{X \le x\}$ 右连续 约定。求二维分布时，利用不等式交集转化为关于标量 $A$ 的不等式，确定各分段区域。

1. (1) 求一维分布函数：
   • 当 $t = \frac{\pi}{4}$ 时，$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $X_{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} A$。$A$ 取 $1, 2, 3$ 等概率 $\frac{1}{3}$，因此 $X_{\frac{\pi}{4}}$ 的可能取值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}$，概率各为 $\frac{1}{3}$。阶跃分布函数为： $$F_{\frac{\pi}{4}}(x) = \begin{cases} 0, & x < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{3}, & \frac{\sqrt{2}}{2} \le x < \sqrt{2} \\ \frac{2}{3}, & \sqrt{2} \le x < \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ 1, & x \ge \frac{3\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$
   • 当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$\cos\frac{\pi}{2} = 0$，故 $X_{\frac{\pi}{2}} = A \cdot 0 \equiv 0$。该时刻过程退化为常数 0，其分布函数在原点产生大小为 1 的阶跃： $$F_{\frac{\pi}{2}}(x) = P\{0 \le x\} = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \ge 0 \end{cases} = \varepsilon(x)$$
2. (2) 求二维分布函数 $F_{0, \frac{\pi}{3}}(x, y)$：
   • 当 $t_1 = 0$ 时，$X_0 = A \cos 0 = A$；当 $t_2 = \frac{\pi}{3}$ 时，$X_{\frac{\pi}{3}} = A \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} A$。
   • 二维随机向量 $(X_0, X_{\frac{\pi}{3}}) = (A, \frac{1}{2}A)$ 在平面上仅集中在三个离散点：$(1, \frac{1}{2}), (2, 1), (3, \frac{3}{2})$，概率各为 $\frac{1}{3}$。
   • 根据联合分布函数定义： $$F_{0, \frac{\pi}{3}}(x, y) = P\{X_0 \le x, X_{\frac{\pi}{3}} \le y\} = P\{A \le x, \frac{1}{2}A \le y\} = P\{A \le \min(x, 2y)\}$$ 令 $u = \min(x, 2y)$，代入 $A$ 的离散分布律得： $$F_{0, \frac{\pi}{3}}(x, y) = \begin{cases} 0, & \min(x, 2y) < 1 \\ \frac{1}{3}, & 1 \le \min(x, 2y) < 2 \\ \frac{2}{3}, & 2 \le \min(x, 2y) < 3 \\ 1, & \min(x, 2y) \ge 3 \end{cases}$$
3. (3) 求均值函数 $m_X(t)$： $$E[A] = \frac{1}{3}(1 + 2 + 3) = 2$$ $$m_X(t) = E[X_t] = E[A \cos t] = E[A] \cos t = 2 \cos t$$
4. (4) 求协方差函数 $C_X(s, t)$： $$E[A^2] = \frac{1}{3}(1^2 + 2^2 + 3^2) = \frac{14}{3}$$ $$D(A) = E[A^2] - (E[A])^2 = \frac{14}{3} - 2^2 = \frac{2}{3}$$ 自相关函数：$R_X(s, t) = E[A^2] \cos s \cos t = \frac{14}{3} \cos s \cos t$。
   协方差函数：$C_X(s, t) = D(A) \cos s \cos t = \frac{2}{3} \cos s \cos t$。

对任意固定 $t$，$X_t = a_t \xi$，其中 $a_t = \cos\omega t$ 为常数。根据随机变量尺度变换性质，若 $\xi \sim U(0, 1)$：当 $a_t > 0$ 时，$X_t \sim U(0, a_t)$；当 $a_t < 0$ 时，$X_t \sim U(a_t, 0)$；当 $a_t = 0$ 时，$X_t \equiv 0$ 退化。

1. (1) 求四个指定时刻的概率密度：
   • ① 当 $t = \frac{\pi}{4\omega}$ 时，$\cos\omega t = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$。$X_t = \frac{\sqrt{2}}{2}\xi \sim U(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$，密度为区间长度的倒数 $\frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$： $$f_{\frac{\pi}{4\omega}}(x) = \begin{cases} \sqrt{2}, & 0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
   • ② 当 $t = \frac{\pi}{2\omega}$ 时，$\cos\omega t = \cos\frac{\pi}{2} = 0$。$X_t \equiv 0$ 为常数退化分布，不存在经典普通概率密度函数（广义函数意义下为冲激函数 $\delta(x)$，分布律为 $P\{X_t = 0\} = 1$）。
   • ③ 当 $t = \frac{3\pi}{4\omega}$ 时，$\cos\omega t = \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$。$X_t = -\frac{\sqrt{2}}{2}\xi \sim U(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$，密度为 $\sqrt{2}$： $$f_{\frac{3\pi}{4\omega}}(x) = \begin{cases} \sqrt{2}, & -\frac{\sqrt{2}}{2} < x < 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
   • ④ 当 $t = \frac{\pi}{\omega}$ 时，$\cos\omega t = \cos\pi = -1$。$X_t = -\xi \sim U(-1, 0)$，密度为 $1$： $$f_{\frac{\pi}{\omega}}(x) = \begin{cases} 1, & -1 < x < 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
2. (2) 求过程的数字特征： 已知 $\xi \sim U(0, 1)$，其特征数为：$E[\xi] = \frac{1}{2}$，$E[\xi^2] = \int_0^1 u^2 du = \frac{1}{3}$，$D(\xi) = \frac{1}{3} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{12}$。
   • 均值函数：$m_X(t) = E[\xi \cos\omega t] = \frac{1}{2} \cos\omega t$
   • 方差函数：$D_X(t) = D(\xi \cos\omega t) = \cos^2\omega t \cdot D(\xi) = \frac{1}{12} \cos^2\omega t$
   • 自相关函数：$R_X(s, t) = E[X_s X_t] = E[\xi^2 \cos\omega s \cos\omega t] = \frac{1}{3} \cos\omega s \cos\omega t$
   • 协方差函数：$C_X(s, t) = D(\xi) \cos\omega s \cos\omega t = \frac{1}{12} \cos\omega s \cos\omega t$

因为 $t > 0$ 且 $\xi \in (0, 1)$，函数 $x = e^{-\xi t}$ 是关于 $\xi$ 的严格单调递减函数。必须使用分布函数法，解不等式时除以负数注意改变符号方向，然后对分布函数求导得到密度。求均值与相关函数时，直接对已知均匀分布的 $\xi$ 做定积分最简洁。

1. (1) 求一维概率密度 $f_t(x)$：
   • 取值区间分析：当 $\xi$ 从 $0$ 增至 $1$ 时，$e^{-\xi t}$ 从 $1$ 严格递减至 $e^{-t}$，因此 $X_t$ 的取值区间为 $(e^{-t}, 1)$。
   • 利用分布函数法：对任意 $x \in (e^{-t}, 1)$： $$F_t(x) = P\{e^{-\xi t} \le x\} = P\{-\xi t \le \ln x\} = P\{\xi \ge -\frac{\ln x}{t}\} = 1 - P\{\xi < -\frac{\ln x}{t}\} = 1 - \left(-\frac{\ln x}{t}\right) = 1 + \frac{\ln x}{t}$$
   • 求导得出概率密度： $$f_t(x) = \frac{d}{dx} F_t(x) = \frac{1}{t x},\quad e^{-t} < x < 1$$ 在区间外 $f_t(x) = 0$。核验归一化：$\int_{e^{-t}}^1 \frac{1}{tx} dx = \frac{1}{t} [\ln 1 - (-t)] = 1$。
2. (2) 求均值函数 $m_X(t)$： 直接利用原随机变量 $\xi \sim U(0, 1)$ 积分： $$m_X(t) = E[e^{-\xi t}] = \int_0^1 e^{-u t} \cdot 1\, du = \left[ -\frac{1}{t} e^{-ut} \right]_0^1 = \frac{1 - e^{-t}}{t}$$
3. (3) 求相关函数 $R_X(s, t)$： 对任意 $s > 0, t > 0$，令 $\lambda = s + t > 0$： $$R_X(s, t) = E[X_s X_t] = E[e^{-\xi s} e^{-\xi t}] = E[e^{-\xi(s+t)}] = \int_0^1 e^{-u(s+t)} du = \frac{1 - e^{-(s+t)}}{s + t}$$

$Y_n$ 是典型的对称简单随机游走过程。求相关函数 $R(m, n)$ 的黄金套路是假设 $m \ge n$，将后项拆为前项加未来不重叠增量：$Y_m = Y_n + (Y_m - Y_n)$，利用增量独立性让交叉项期望为 0，从而导出核心公式 $R(m, n) = \min(m, n)$。

1. (1) 求 $Y_2$ 的分布律： $Y_2 = X_1 + X_2$，取值集合为 $\{-2, 0, 2\}$：
   • $P\{Y_2 = -2\} = P\{X_1 = -1, X_2 = -1\} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$
   • $P\{Y_2 = 0\} = P\{(-1, 1)\} + P\{(1, -1)\} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
   • $P\{Y_2 = 2\} = P\{X_1 = 1, X_2 = 1\} = \frac{1}{4}$
   分布律表格为： $$\begin{array}{c|ccc} Y_2 & -2 & 0 & 2 \\ \hline P & 1/4 & 1/2 & 1/4 \end{array}$$
2. (2) 求 $Y_n$ 的均值 $E(Y_n)$： $E[X_k] = (-1)\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 0$。由期望线性性质：$E[Y_n] = \sum_{k=1}^n E[X_k] = n \times 0 = 0$。
3. (3) 计算相关函数 $R_Y(m, n)$： 先算单步方差：$D(X_k) = E[X_k^2] - 0 = (-1)^2\frac{1}{2} + 1^2\frac{1}{2} = 1$。
   不妨设 $m \ge n$，拆分 $Y_m = Y_n + \sum_{k=n+1}^m X_k$： $$R_Y(m, n) = E[Y_m Y_n] = E\left[ \left(Y_n + \sum_{k=n+1}^m X_k\right) Y_n \right] = E[Y_n^2] + E\left[ Y_n \sum_{k=n+1}^m X_k \right]$$ 由于指标不相交，两部分相互独立：$E[Y_n \sum_{k=n+1}^m X_k] = E[Y_n] E[\sum X_k] = 0$。
   而 $E[Y_n^2] = D(Y_n) = \sum_{k=1}^n D(X_k) = n$。
   由对称性，对任意正整数 $m, n$ 统一表达为： $$R_Y(m, n) = \min(m, n)$$

独立正态变量之和仍服从正态分布，期望与方差可加。求联合密度有两种标准解法：其一是构造协方差矩阵求行列式与逆矩阵套用公式；其二是换元为独立增量 $U = Y_n, V = Y_m - Y_n$，直接写出乘积后雅可比代换，后者通分即得答案。

1. (1) 求 $Y_n$ 的概率密度： 因为 $X_k \sim N(0, \sigma^2)$ 独立同分布，和变量 $Y_n \sim N(0, n\sigma^2)$。其一维概率密度为： $$f_{Y_n}(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi n}\sigma} \exp\left(-\frac{y^2}{2n\sigma^2}\right),\quad y \in \mathbf{R}$$
2. (2) 求 $(Y_n, Y_m)$ 的联合概率密度 ($m > n$)：
   • 法一：协方差矩阵法
     $(Y_n, Y_m)^T$ 服从二维零均值正态分布。方差分别为 $\operatorname{Var}(Y_n) = n\sigma^2,\ \operatorname{Var}(Y_m) = m\sigma^2$。因 $m > n$，协方差为： $$\operatorname{Cov}(Y_n, Y_m) = E[Y_n(Y_n + \sum_{k=n+1}^m X_k)] = E[Y_n^2] = n\sigma^2$$ 协方差矩阵为 $\mathbf{C} = \sigma^2 \begin{pmatrix} n & n \\ n & m \end{pmatrix}$。
     行列式：$\det(\mathbf{C}) = \sigma^4(nm - n^2) = n(m - n)\sigma^4$。
     逆矩阵为：$\mathbf{C}^{-1} = \frac{1}{n(m-n)\sigma^2} \begin{pmatrix} m & -n \\ -n & n \end{pmatrix}$。
     二次型项：$(y_n, y_m)\mathbf{C}^{-1}(y_n, y_m)^T = \frac{m y_n^2 - 2n y_n y_m + n y_m^2}{n(m-n)\sigma^2}$。
     代入二维高斯密度公式： $$f_{n, m}(y_n, y_m) = \frac{1}{2\pi\sigma^2\sqrt{n(m-n)}} \exp\left\{-\frac{m y_n^2 - 2n y_n y_m + n y_m^2}{2n(m-n)\sigma^2}\right\}$$
   • 法二：独立增量雅可比代换验证法
     令 $U = Y_n \sim N(0, n\sigma^2),\ V = Y_m - Y_n \sim N(0, (m-n)\sigma^2)$。两变量独立，联合密度为： $$f_{U, V}(u, v) = \frac{1}{2\pi\sigma^2\sqrt{n(m-n)}} \exp\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}\left[\frac{u^2}{n} + \frac{v^2}{m-n}\right]\right\}$$ 变量代换 $y_n = u, y_m = u + v$，雅可比行列式 $|J|=1$。代入 $u = y_n, v = y_m - y_n$，通分指数项完全相同！

在闭区间 $[0, 1]$ 上，一次函数和余弦函数都是严格单调函数，最大值只能在两端点取得。写出关于 $\xi$ 的分段最值后，利用标准半区间积分 $\int_0^\infty x e^{-x^2/(2\sigma^2)} dx = \sigma^2$ 直接求期望。

1. 情形 (1)：$X_t = \xi t + \eta,\ t \in [0, 1]$
   一次函数在闭区间 $[0, 1]$ 上的最值必在端点 $t=0$ 或 $t=1$ 处取得： $$Z = \max(X_0, X_1) = \max(\eta, \xi + \eta) = \eta + \max(0, \xi)$$ 利用期望线性性质，$E[\eta] = 0$，故： $$E[Z] = E[\eta] + E[\max(0, \xi)] = 0 + \int_0^{+\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} dx$$ 换元 $u = \frac{x^2}{2\sigma^2}, du = \frac{x}{\sigma^2}dx$，积分得： $$E[Z] = \frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_0^{+\infty} e^{-u} du = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}$$
2. 情形 (2)：$X_t = \xi \cos t,\ t \in [0, 1]$
   当 $t \in [0, 1]$ 时，$\cos t$ 严格单调递减，且 $\cos 0 = 1 > \cos 1 > 0$。分情况讨论 $\xi$ 的符号：
   • 若 $\xi \ge 0$，$\xi \cos t$ 随 $t$ 递减，最大值在 $t = 0$ 处：$Z = \xi \cos 0 = \xi$；
   • 若 $\xi < 0$，负数乘较小正数更大，$\xi \cos t$ 随 $t$ 递增，最大值在 $t = 1$ 处：$Z = \xi \cos 1$。
   因此 $Z = \xi \mathbf{1}_{\{\xi \ge 0\}} + \xi \cos 1 \mathbf{1}_{\{\xi < 0\}}$。求数学期望： $$E[Z] = \int_0^{+\infty} x f_\xi(x) dx + \cos 1 \int_{-\infty}^0 x f_\xi(x) dx$$ 由正态密度偶对称性，负半轴积分为 $-\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}$，故： $$E[Z] = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} - \cos 1 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}} = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}(1 - \cos 1)$$

信号以 $T$ 为周期重复。任何时刻 $t$ 可分解为周期数加周期内偏移 $t = kT + t_0$，其中 $t_0 = t \pmod T \in [0, T)$。在当前周期内，只有当脉冲宽度 $X > t_0$ 时信号振度为 $A$，否则为 $0$。因此 $Y_t$ 是取值为 $0$ 和 $A$ 的两点型随机变量。

1. 对任意时刻 $t \ge 0$，令 $k = \lfloor t/T \rfloor$，$t_0 = t - kT \in [0, T)$。
2. 在第 $k+1$ 个时隙内，脉冲宽度 $X \sim U(0, T)$。信号取值规则为： $$Y_t = \begin{cases} A, & t_0 < X \\ 0, & t_0 \ge X \end{cases}$$
3. 因为 $X \sim U(0, T)$，其分布函数为 $P\{X \le x\} = \frac{x}{T}\ (0 \le x \le T)$，计算概率分布律： $$P\{Y_t = A\} = P\{X > t_0\} = 1 - \frac{t_0}{T} = \frac{T - t_0}{T}$$ $$P\{Y_t = 0\} = P\{X \le t_0\} = \frac{t_0}{T}$$
4. 一维分布函数表达为分段形式： $$F_t(y) = P\{Y_t \le y\} = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ \dfrac{t_0}{T}, & 0 \le y < A \\ 1, & y \ge A \end{cases}$$

设 $Y$ 为选书事件（$Y=1$ 选数学书，$Y=2$ 选历史书），$P\{Y=1\} = P\{Y=2\} = \frac{1}{2}$。错误数记为 $N$。 $$E[N \mid Y=1] = 2,\quad E[N \mid Y=2] = 5$$ 由全期望公式： $$E[N] = E[E[N \mid Y]] = \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{2} \times 5 = \frac{7}{2} = 3.5$$

设事故次数 $N$ 满足 $E[N] = 4$；第 $i$ 次事故受伤工人数 $X_i$ 独立且同分布，$E[X_i] = 2$；$N \perp \{X_i\}$。每周受伤总人数为复合和 $S_N = \sum_{i=1}^N X_i$。
由 Wald 等式（全期望公式）： $$E[S_N] = E[E[S_N \mid N]] = E[N \cdot E[X_1]] = E[N] \cdot E[X_1] = 4 \times 2 = 8$$

设逃生总耗时为 $T$。设首次选门为 $D \in \{1, 2, 3\}$，等概率 $P\{D = i\} = \frac{1}{3}$。

• 选门 1：2 小时脱险，条件期望 $E[T \mid D=1] = 2$；
• 选门 2：耗时 3 小时回到原地，回到原地后状态重置无记忆，后续期望仍为 $E[T]$，故 $E[T \mid D=2] = 3 + E[T]$；
• 选门 3：同理耗时 5 小时回到原地，后续仍需 $E[T]$，故 $E[T \mid D=3] = 5 + E[T]$。

根据全期望公式建立方程： $$E[T] = \frac{1}{3} \times 2 + \frac{1}{3}(3 + E[T]) + \frac{1}{3}(5 + E[T]) = \frac{10}{3} + \frac{2}{3} E[T]$$ 移项求解得：$\frac{1}{3} E[T] = \frac{10}{3} \implies E[T] = 10$ 小时。

定义指示变量 $I_i = \mathbf{1}_{\{\text{第 } i \text{ 个人取到自己帽子}\}}$。由于充分混合，第 $i$ 个人挑中自己帽子的概率为： $$P\{I_i = 1\} = \frac{1}{N} \implies E[I_i] = \frac{1}{N}$$ 取到自己帽子的总人数为 $X = \sum_{i=1}^N I_i$。虽然各 $I_i$ 不独立，但期望线性可加性无需独立性： $$E[X] = \sum_{i=1}^N E[I_i] = N \times \frac{1}{N} = 1$$

严平稳定义：对任意整数 $n$、时间序列 $t_1, \dots, t_n$ 和任意平移量 $\tau$，有限维分布函数满足： $$F_{t_1, \dots, t_n}(x_1, \dots, x_n) = F_{t_1+\tau, \dots, t_n+\tau}(x_1, \dots, x_n)$$ 1. 一维分布推导：取 $n = 1$，令平移量 $\tau = -t_1$，则： $$F_{t_1}(x_1) = F_{t_1 + (-t_1)}(x_1) = F_0(x_1)$$ 右端 $F_0(x_1)$ 不依赖于时间 $t_1$，故一维分布与时间无关。 2. 二维分布推导：取 $n = 2$，令平移量 $\tau = -t_1$，则： $$F_{t_1, t_2}(x_1, x_2) = F_{t_1 + (-t_1), t_2 + (-t_1)}(x_1, x_2) = F_{0, t_2 - t_1}(x_1, x_2)$$ 右端只依赖于时间间隔 $t_2 - t_1$，与时间起点 $t_1$ 无关。证毕。

若严平稳过程的一阶矩和二阶矩存在： 1. 均值函数：由题 5，$F_t(x) = F_0(x)$，故： $$m_X(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\, dF_t(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} x\, dF_0(x) = m \quad (\text{常数})$$ 2. 方差函数：二阶矩 $\int x^2 dF_0(x)$ 为常数，故 $D_X(t) = \sigma^2$ 为常数，均与时间起点无关。 3. 协方差函数：由题 5，$F_{s, t}(x, y) = F_{0, t-s}(x, y)$，自相关函数为： $$R_X(s, t) = \int\int x y\, dF_{0, t-s}(x, y) = R_X(t - s)$$ 进而协方差函数 $C_X(s, t) = R_X(t - s) - m^2 = C_X(t - s)$，只依赖于时间差 $\tau = t - s$。证毕。

1. 二者逻辑关系：

• 二阶矩存在的严平稳过程必为宽平稳过程；
• 宽平稳过程一般推不出严平稳过程；
• 正态过程（高斯过程）下二者互为充要条件：宽平稳 $\iff$ 严平稳。

2. 反例 1（严平稳但非宽平稳）： 设序列 $\{X_n\}$ 独立同服从柯西分布（Cauchy 分布 $f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$）。因为 i.i.d.，平移后联合分布不变，满足严平稳；但其期望与方差均不存在，故不是宽平稳。 3. 反例 2（宽平稳但非严平稳）： 设 $\{X_n\}$ 相互独立，奇数项 $X_{2k-1}$ 服从对称两点分布 $P\{X=\pm 1\} = \frac{1}{2}$；偶数项 $X_{2k}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。均值为 0、方差为 1，不相关且自相关仅依赖时差，满足宽平稳；但一维分布在离散与连续间随时间交替变动，不是严平稳。

结论：不能保证。
宽平稳要求对任意两不同时刻的协方差 $C(s, t)$ 仅依赖时差 $t - s$；而“方差为常数”仅保证了对角线 $C(t, t)$ 为常数，无法约束不同时刻的相关结构。
反例构造：设 $U, V$ 独立，均值为 0，方差为 $\sigma^2$。构造过程： $$X(t) = U \cos(t^2) + V \sin(t^2),\quad t \ge 0$$ 1. 均值：$m_X(t) = 0$ 为常数；
2. 方差：$D_X(t) = \sigma^2 \cos^2(t^2) + \sigma^2 \sin^2(t^2) = \sigma^2$ 为常数；
3. 自相关函数： $$R_X(s, t) = E[X(s)X(t)] = \sigma^2[\cos(s^2)\cos(t^2) + \sin(s^2)\sin(t^2)] = \sigma^2 \cos(t^2 - s^2)$$ 因为 $t^2 - s^2 = (t - s)(t + s)$ 显式依赖时间之和 $t + s$，不满足平移不变性（如 $R(0, 1) = \sigma^2 \cos 1 \ne R(1, 2) = \sigma^2 \cos 3$）。因此既非宽平稳，亦非严平稳。

设 $a \le t_1 < t_2 < t_3 \le b$。 1. 事件等价转化为不重叠增量事件： $$\{X(t_1)=x_1, X(t_2)=x_2, X(t_3)=x_3\} = \{X(t_1)-X(a)=x_1, X(t_2)-X(t_1)=x_2-x_1, X(t_3)-X(t_2)=x_3-x_2\}$$ 2. 由独立增量性，互不相交时隙上的增量相互独立，联合概率化为单项乘积： $$P\{X(t_1)=x_1, X(t_2)=x_2, X(t_3)=x_3\} = P\{X(t_1)-X(a)=x_1\} \cdot P\{X(t_2)-X(t_1)=x_2-x_1\} \cdot P\{X(t_3)-X(t_2)=x_3-x_2\}$$ 3. 由平稳增量性，增量分布仅由时间跨度决定： * $P\{X(t_1)-X(a)=x_1\} = p(x_1; t_1)$（起点 $a=0$ 时）； * $P\{X(t_2)-X(t_1)=x_2-x_1\} = p(x_2-x_1; t_2-t_1)$； * $P\{X(t_3)-X(t_2)=x_3-x_2\} = p(x_3-x_2; t_3-t_2)$。